CF1004F 题解

题意

传送门

给定数组 \(a_{1 \sim n}\) 和 \(m\) 次操作，操作分两类：

1. 将 \(a_x\) 修改为 \(y\)；
2. 给定 \(L,R\)，询问有多少区间 \([l,r]\) 满足 \(L \le l \le r \le R\) 且 \(a_{l \sim r}\) 的按位或和 \(\ge x\)。

\(1 \le n,m \le 10^5,0 \le a_i,x,y < 2^{20}\)

题解

由于按位或的单调性，不难想到尺取，配合线段树可以 \(O(nm \log n)\)。

但这样还不够。注意到另一个有趣的性质：若左端点固定，只有 \(\log n\) 种不同的值。

于是思考 \(O(n \log^2 n)\) 的做法。显然，若答案支持 \(O(\log n)\) 区间合并，则可以用线段树解决。

记录区间前缀/后缀按位或和的转折点和值，首先答案容易维护。还需要更新的前/后缀按位或和。

以前缀和为例，首先继承左区间的前缀和。接着依次枚举右区间的所有前缀和，尝试和已得到的前缀和的最后一位匹配（就是按位或后不变），若成功则加上长度，失败则加入。于是成功解决问题。