SOJ1669 题解

题意

传送门

给定长度为 \(N\) 的数组 \(a\) 与 \(Q\) 个区间，还有一个整数 \(M\)。

你可以将至多 \(M\) 个 \(a_i\) 个变为 \(0\)，求

\[\sum_{i=1}^Q \max_{l_i \le j \le r_i} a_j \]

的最小值。

\(1 \le N,Q \le 50,0 \le M \le N,1 \le a_i \le 10^9,1 \le l_i \le r_i \le N\)。

题解

看完题解后感觉只是普通的 \(\operatorname{DP}\)，但为什么考试的时候想不到呢……大概跟思维方向有关吧。做的题也太少了。

考虑在最大值处算贡献：由大到小加入所有 \(a_i\)，若变 \(0\)，则消耗一次机会；否则将所有剩下的包含 \(i\) 的区间提出加入答案，并删掉。复杂度 \(O(nm2^q)\)。

瓶颈在 \(2^q\)。我们发现各区间的状态（\(0/1\)）是有一定关系的，由此考虑用另一种方式维护。

考虑区间 \(\operatorname{DP}\)，用 \(f_{l,r,m,t}\) 表示只考虑完全包含于 \([l,r]\) 的区间，剩下 \(m\) 次机会，只能拿不超过 \(t\) 的 \(a\) 值（当然可以离散化）的答案。考虑上述暴力的方式，转移很显然：一种是不拿区间最大值（设为\(mx\)，位置在 \(p\)），即 \(f_{l,r,m-1,mx}\)；另一种是拿区间最大值，即加上所有 \(l \le L_i \le p \le R_i \le r\) 的区间 \(i\)，再枚举左右两边各放多少机会，即加上 \(\min_{i=0}^m f_{l,p-1,i,mx}+f_{p+1,r,m-i,mx}\)。答案即为 \(f_{1,n,m,INF}\)。