CF1217F 题解

传送门

题意

给定一个 \(n\) 个点的无向图，最初图中无边。两种操作：

• 1 x y 若 \(x,y\) 中有边，则删去；否则加入。
• 2 x y 询问 \(x,y\) 是否连通。

\(x,y\) 均加密，真实的 \(x,y\) 为 \((x+lstans-1) mod\ n+1,(y+lstans-1) mod\ n+1\)。

题解

动态图连通性。但无需 \(LCT+ETT\)，因为这是假加密。注意到 \(lstans\) 为 \(0\) 或 \(1\)，则真实值只有两种情况。

\(O(n \log n)\) 的方法是线段树分治，但我看不懂。这里只说 \(O(n^{\frac{4}{3}} \log n)\) 的分块。

并查集支持撤销，但图上删边不是撤销。一种 \(O(n^2)\) 的暴力是，对于每个询问，将它前面的所有还存在的线段提出来，重新构建并查集。

受此启发，我们考虑分块，设块大小为 \(T\)。对每个块，将前面的所有还存在的线段提出来：这其中有两种，一种是此块中不可能出现的，状态一定不变；另一种是可能出现的，状态可能会变。我们对第一种先构建并查集。将第二种加入一个集合中（第一次加，第二次减，类似异或 \(1\)）。

接着考虑块内的询问。用类似暴力的方法，将在块内且在此询问前的修改操作加入上面的集合中（方法同上）。此时，我们可以保证此集合大小不超过 \(T\)。于是可以在上面的并查集中加入此集合内的线段，得出答案后撤销。

分析复杂度，为 \(O(\frac{n}{T}n\log n)+O(T^2\log n)\)。当 \(T=n^{\frac{2}{3}}\) 时，为 \(O(n^{\frac{4}{3}}\log n)\)。