LG3172 选数 题解

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题意

从 \([L,R]\) 中可重地选 \(N\) 个整数，共有 \((R-L+1)^N\) 种方案。对每种方案求其最大公约数，求刚好等于 \(K\) 的选取方案有多少个。
\(1 \le N,K,L,R \le 10^9\)，\(0 \le R-L \le 10^5\)

题解

首先 \(L=\lceil \frac{L}{K} \rceil\)，\(R=\lfloor \frac{R}{K} \rfloor\)，求最大公约数等于 \(1\)。
注意到 \(R-L\) 很小，足以支持 \(N \log N\) 级别的算法。于是设 \(f(i)\) 表示 \(gcd\) 为 \(i\) 的方案数。易证当 \(i>R-L\) 时，\(f \le 1\)。而 \(f\) 又可以用 \(N \log N\) 算法求得：先算 \(g(i)\)，表示 \(gcd\) 为 \(i\) 的倍数的方案数；设 \([L,R]\) 中 \(i\) 倍数个数为 \(x\)，易得 \(g(i)=x^N\)。简单容斥，减去 \(ki(k>1)\) 的 \(f\) 即得。
上面 \(i>R-L\) 时 \(f \le 1\)，还是有些麻烦。转化一下定义，\(f(i)\) 表示 \(gcd\) 为 \(i\) 且选的数不全相同的方案数。则 \(\le 1\) 变成 \(=0\)。此时 \(g-x\)，转移方式不变。于是得到答案 \(f(1)\)。
\(L=1\) 时允许全选 \(1\)，故加 \(1\)。