LG5219 无聊的水题I 题解

传送门

题意

求有多少节点数为 \(n\) 的树，使得节点中最大的度数为 \(m\)。
节点有标号，两棵树不同当且仅当一对节点在一棵树中有连边，另一棵树中没有连边。
\(1 \le n,m \le 5 \times 10^4\)

题解

树上计数，和度数有关，容易想到 prufer 序列。则转化为：在 \([1,n-2]\) 中填 \([1,n]\)，使得出现次数最大的数出现 \(m-1\) 次。容斥一下，为不超过 \(m-1\) 减去不超过 \(m-2\)。
不超过 \(m\)，可以使用生成函数。不难得出答案为

\[(n-2)![x^{n-2}]F^n(x) \]

\[F(x)=\sum_{i=0}^{m}\frac{x^i}{i!} \]

其中生成函数的含义为可重集合的全排列。
快速幂+ NTT 即可。时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。