UVA11255 题解

传送门

题意

有 \(a\) 个白色珍珠，\(b\) 个灰色珍珠，\(c\) 个黑色珍珠。求能组成的本质不同的环形项链有多少种。两个项链视为相同，当且仅当它们能通过翻转或旋转变成一样。
\(3≤a+b+c≤40\)。

题解

若只考虑旋转，由 Burnside 引理，答案为 \(\sum_{d\mid n}S(d)φ(d)\)。其中 \(S(d)\) 表示循环节长度为 \(d\) 时，置换后相同的方案数。
将 \(\frac{a!}{b!c!d!}\) 记为 \(f(a,b,c,d)\)。
考虑计算 \(S(d)\)。因为一个循环内的颜色必然相同，所以若 \(a,b,c\) 中有一个不被 \(d\) 整除，则为 \(0\)。否则将 \(a,b,c\) 均除以 \(d\)，转化为可重集的排列问题。答案为

\[f(\frac{a+b+c}{d},\frac{a}{d},\frac{b}{d},\frac{c}{d}) \]

接着考虑翻转。
若 \(n\) 为奇数，则轴线只过一点。枚举这点的颜色，其他循环节为2。答案为

\[f(\frac{n-1}{2},\frac{a-1}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2})+f(\frac{n-1}{2},\frac{a}{2},\frac{b-1}{2},\frac{c}{2})+f(\frac{n-1}{2},\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c-1}{2}) \]

若 \(n\) 为偶数，则轴线过两点，或不过点。过两点时枚举两点的颜色，其他循环节为2；不过点时循环节为2。计算方法类似。
将旋转与翻转的答案加起来，除以 \(2n\) 即得。