Acwing955 维护数列 题解
题面
传送门
要求维护一个数列，支持以下6种操作：
- 插入：在当前数列的第\(posi\)个数字后插入\(tot\)个给定数字\(c_1,c_2,...,c_{tot}\)
- 删除：从当前数列的第\(posi\)个数字开始，连续删除\(tot\)个数字
- 修改：将当前数列的第\(posi\)个数字开始的\(tot\)个数字全部修改为\(c\)
- 翻转：将当前数列的第\(posi\)个数字开始的\(tot\)个数字翻转
- 求和：输出当前数列的第\(posi\)个数字开始的\(tot\)个数字的和
- 求最大子序和：输出当前数列的最大子序和，长度不能为0
在任何时候，数列的长度在[1,500000]内。所有数字均在[-1000,1000]内。保证操作次数M≤20000，插入的数字总数≤4000000。保证有解。
题解
看到“插入”“删除”“翻转”，自然想到用Splay。Splay中维护元素的下标有序，就可以实现区间的插入和删除了。
借鉴线段树的思想，还可以实现3456操作。用\(a[x].sum\)表示以x为根的子树的数值总和，\(a[x].ms\)表示最大子序和，\(a[x].ls\)表示最大前缀和，\(a[x].rs\)表示最大后缀和。再使用懒惰标记\(a[x].rev\)表示是否需要翻转，\(a[x].same\)表示是否要将其子树改为和x数值相同。那么所有操作可以\(O(\log{N})\)实现。
还有一点需要注意：更新的顺序需要与懒惰标记表示的实际意义相对应。此解法中，懒惰标记表示“当前节点x已更新，但其子节点未更新”，那么在34操作之初，就需要更新节点的信息。pushdown(int x)时，更新的是x的子节点的信息。切记不能混淆。
void pushup(int x) {
node &p = a[x], l = a[p.s[0]], r = a[p.s[1]];
p.size = l.size + r.size + 1;
p.sum = l.sum + r.sum + p.v;
p.ls = max(l.ls, l.sum + p.v + r.ls);
p.rs = max(r.rs, r.sum + p.v + l.rs);
p.ms = max(max(l.ms, r.ms), l.rs + p.v + r.ls);
}
void pushdown(int x) {
node &p = a[x], &l = a[p.s[0]], &r = a[p.s[1]];
if (p.rev) {
l.rev ^= 1; r.rev ^= 1;
swap(l.s[0], l.s[1]); swap(l.ls, l.rs);
swap(r.s[0], r.s[1]); swap(r.ls, r.rs);
p.rev = 0;
}
if (p.same) {
l.same = r.same = 1;
l.v = r.v = p.v;
l.sum = p.v * l.size; r.sum = p.v * r.size;
l.ms = p.v > 0 ? l.sum : p.v; r.ms = p.v > 0 ? r.sum : p.v;
l.ls = l.rs = (p.v > 0) * l.sum; r.ls = r.rs = (p.v > 0) * r.sum;
if (!p.s[0] || !p.s[1]) {
a[0].ms = -1e9; a[0].sum = a[0].ls = a[0].rs = 0;
} //题目要求子序列长度不能为0。在pushup中，若l/r=0，则表示子节点为空，不能从其更新答案。对节点0的恰当赋值可以使代码更简短
p.same = 0;
}
}
另外，此题插入的数字总数较大，但实时的数列长度保持在较小范围内。在删除之后，很多空间被浪费掉了。于是我们可以执行内存回收，即将删除后的节点保留，在需要新建节点时，优先使用保留下来的节点。
void Recycle(int x) { //在执行“删除”操作之后
if (!x) return ;
rec[++top] = x; //rec，回收容器
Recycle(a[x].s[0]); Recycle(a[x].s[1]); //递归实现
}
Code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
struct node {
int s[2], p, v, size;
int rev, same, sum, ms, ls, rs;
void init(int _v, int _p) {
s[0] = s[1] = rev = same = 0;
v = sum = ms = _v; p = _p;
ls = rs = max(v, 0);
size = 1;
}
} a[N];
int m, root, rec[N], top;
int n, w[N];
void pushup(int x) {
node &p = a[x], l = a[p.s[0]], r = a[p.s[1]];
p.size = l.size + r.size + 1;
p.sum = l.sum + r.sum + p.v;
p.ls = max(l.ls, l.sum + p.v + r.ls);
p.rs = max(r.rs, r.sum + p.v + l.rs);
p.ms = max(max(l.ms, r.ms), l.rs + p.v + r.ls);
}
void pushdown(int x) {
node &p = a[x], &l = a[p.s[0]], &r = a[p.s[1]];
if (p.rev) {
l.rev ^= 1; r.rev ^= 1;
swap(l.s[0], l.s[1]); swap(l.ls, l.rs);
swap(r.s[0], r.s[1]); swap(r.ls, r.rs);
p.rev = 0;
}
if (p.same) {
l.same = r.same = 1;
l.v = r.v = p.v;
l.sum = p.v * l.size; r.sum = p.v * r.size;
l.ms = p.v > 0 ? l.sum : p.v; r.ms = p.v > 0 ? r.sum : p.v;
l.ls = l.rs = (p.v > 0) * l.sum; r.ls = r.rs = (p.v > 0) * r.sum;
if (!p.s[0] || !p.s[1]) {
a[0].ms = -1e9; a[0].sum = a[0].ls = a[0].rs = 0;
}
p.same = 0;
}
}
void rotate(int x) {
int y = a[x].p, z = a[y].p, k = a[y].s[1] == x;
a[z].s[a[z].s[1] == y] = x; a[x].p = z;
a[y].s[k] = a[x].s[k ^ 1]; a[a[x].s[k ^ 1]].p = y;
a[x].s[k ^ 1] = y; a[y].p = x;
pushup(y); pushup(x);
}
void Splay(int x, int k) {
while (a[x].p != k) {
int y = a[x].p, z = a[y].p;
if (z != k) {
if (a[z].s[1] == y ^ a[y].s[1] == x) rotate(x);
else rotate(y);
}
rotate(x);
}
if (!k) root = x;
}
int Build(int l, int r, int fa) {
if (l > r) return 0;
int mid = l + r >> 1;
int x = rec[top--];
a[x].init(w[mid], fa);
a[x].s[0] = Build(l, mid - 1, x); a[x].s[1] = Build(mid + 1, r, x);
pushup(x);
return x;
}
int Get_k(int k) {
int p = root;
while (p) {
pushdown(p);
if (a[a[p].s[0]].size >= k) p = a[p].s[0];
else if (a[a[p].s[0]].size + 1 == k) return p;
else {
k -= a[a[p].s[0]].size + 1; p = a[p].s[1];
}
}
}
void Recycle(int x) {
if (!x) return ;
rec[++top] = x;
Recycle(a[x].s[0]); Recycle(a[x].s[1]);
}
int main() {
char opt[15];
int pos, c;
for (int i = 5e5; i >= 1; i--) rec[++top] = i;
scanf("%d%d", &n, &m);
a[0].ms = w[0] = w[n + 1] = -1e9;
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
root = Build(0, n + 1, 0);
while (m--) {
scanf("%s", opt);
if (opt[0] == 'I') {
scanf("%d%d", &pos, &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
int x = Get_k(pos + 1), y = Get_k(pos + 2);
Splay(x, 0); Splay(y, x);
a[y].s[0] = Build(1, n, y);
pushup(y); pushup(x);
}
else if (opt[0] == 'D') {
scanf("%d%d", &pos, &n);
int x = Get_k(pos), y = Get_k(pos + n + 1);
Splay(x, 0); Splay(y, x);
Recycle(a[y].s[0]);
a[y].s[0] = 0;
pushup(y); pushup(x);
}
else if (opt[0] == 'R') {
scanf("%d%d", &pos, &n);
int x = Get_k(pos), y = Get_k(pos + n + 1);
Splay(x, 0); Splay(y, x);
node &cur = a[a[y].s[0]];
cur.rev ^= 1;
swap(cur.s[0], cur.s[1]);
swap(cur.ls, cur.rs);
pushup(y); pushup(x);
}
else if (opt[0] == 'G') {
scanf("%d%d", &pos, &n);
int x = Get_k(pos), y = Get_k(pos + n + 1);
Splay(x, 0); Splay(y, x);
printf("%d\n", a[a[y].s[0]].sum);
}
else if (opt[2] == 'K') {
scanf("%d%d%d", &pos, &n, &c);
int x = Get_k(pos), y = Get_k(pos + n + 1);
Splay(x, 0); Splay(y, x);
node &cur = a[a[y].s[0]];
cur.same = 1; cur.v = c;
cur.sum = cur.size * c;
cur.ms = c > 0 ? cur.sum : c;
cur.ls = cur.rs = (c > 0) * cur.sum;
pushup(y); pushup(x);
}
else printf("%d\n", a[root].ms);
}
return 0;
}
可以发现，Splay可以实现线段树的操作，且还能实现很多线段树不能实现的操作，且只需一倍空间。就复杂度而言，Splay似乎碾压线段树。但Splay常数较大，效率大约只有线段树的三分之一，且代码量大，这是它的劣势。
这题的细节很多，调错非常难受……但这类区间操作可谓是Splay的精华，若能完全掌握并能触类旁通，合理地建模，那么Splay的难题也就至此为止了。
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