主定理（支配理论）学习笔记

用于求解分治法得到的递归关系式。
形如：

\[T(n)=a×T(\frac{n}{b})+f(n) \]

其中\(a,b\)均为常数。

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特殊形式：\(f(n)=O(n^d)\)
则:
若\(d>\log_{b}{a}\) ⇒ \(T(n)=O(n^d)\)
　\(d<\log_{b}{a}\) ⇒ \(T(n)=O(n^{\log_{b}{a}})\)
　\(d=\log_{b}{a}\) ⇒ \(T(n)=O(n^d·\log_{2}{n})\)

一般：\(f(n)\)为任意形式
则：
若\(f(n)>n^{\log_{b}{a}}\) ⇒ \(T(n)=f(n)\)
　\(f(n)<n^{\log_{b}{a}}\) ⇒ \(T(n)=O(n^{\log_{b}{a}})\)
　\(f(n)=n^{\log_{b}{a}}\) ⇒ \(T(n)=O(f(n)·\log_{2}{n})\)

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例：
①\(T(n)=3×T(\frac{n}{2})+n^2\)
　\(a=3\),\(b=2\),\(d=2\) ⇒ \(T(n)=O(n^2)\)
②\(T(n)=16×T(\frac{n}{4})+n\) ⇒ \(T(n)=O(n^2)\)
③\(T(n)=T(\frac{n}{2})+2^n\)
　\(f(n)=2^n,n^{\log_{b}{a}}=n^0=1\)
　考虑\(n\)很大，\(2^n>1\) ⇒ \(T(n)=2^n\)

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高深的内容，但于理论方面着实用处很大，受益匪浅。