驻相原理

stationary phase approximation
设\((s(t)\)是一个调频信号,

\[s(t)=w(t)exp(j\phi(t)) \]

其中, \(w(t)\)为实包络, \(\phi(t)\)为信号相位; 相比于相位, 包络为时间缓变函数
其傅立叶变换

\[\begin{align*} S(f)&=\int s(t)exp(-j2\pi ft)dt \\ &= \int w(t)exp(j\theta(t))dt \end{align*} \]

其中, \(\theta(t)=\phi(t)-2\pi ft\) ,

上式的积分可以这样理解, 因为包络为时间缓变函数, 在一个相位周期内, w(t)可近似为常数, 对于快速变化的相位项, 除了\(d\phi(t) / dt\) 等于0的驻相点, 其余位置的积分均为0(正负快速变化, 互相抵消掉), 对积分其主要作用的部分集中在驻相点附近

因此, 信号的频谱近似为

\[S(f)\approx \sqrt{\frac{2\pi}{|\theta''(t_s)|}}exp(\pm \pi/4)w\Big[t(f)\Big]\theta\Big[t(f)\Big] \]

\(t(f)\)由信号的时频关系给出, 这一关系可以由驻相点给出
\(w\Big[t(f)\Big]\)为时域包络的尺度变换, \(\theta\Big[t(f)\Big]\)为时域相位的尺度变换
实际使用中, 根号内和\(\pm \pi/4\)的常数相位一般可以忽略

考虑一个运动目标的雷达回波, 若雷达发射线性调频信号, 则下变频后的基带信号为

\[\begin{eqnarray} s(t, t_s) &=& p(t-\tau)exp(-2\pi f_c\tau) \\ &=& rect \Bigg[ \dfrac{t-2R(t_s)/c}{T_p} \Bigg ] exp\Bigg[ j\pi \mu \Big(t - \dfrac{2R(t_s)}{c}\Big)^2\Bigg ]\\ && \times exp\Bigg[ -j\dfrac{4\pi f_cR(t_s)}{c}\Bigg ] \end{eqnarray} \]

一种常用的表示是将二维的回波信号变换到距离频率-慢时间域
快时间傅立叶变换后信号的包络表示为

\[w(t)=rect \Bigg[ \dfrac{t-2R(t_s)/c}{T_p} \Bigg ] \]

相位表示为

\[\theta(t)=\pi \mu \Big(t - \dfrac{2R(t_s)}{c}\Big)^2 - \dfrac{4\pi f_cR(t_s)}{c} - 2\pi ft \]

对时间求导，并令导数为0，有

\[\dfrac{d\theta(t)}{dt}=2\pi \mu\Big(t - \dfrac{2R(t_s)}{c}\Big) - 2\pi ft=0 \]

得到

\[t=\dfrac{f}{\mu}+\dfrac{2R(t_s)}{c} \]

因此，可以得到频域表示的相位为

\[\theta(f)=-\big[\frac{\pi f^2}{\mu}+\frac{4\pi R(t_s)}{c}(f+f_c)\big] \]

包络为

\[w(f)=rect\big[\frac{f}{\mu T_p}\big] \]