第五章作业

一、回溯法分析 “最小重量机器设计问题”
1.1 “最小重量机器设计问题” 的解空间
简单来说，这个问题的解空间就是所有可能的 “部件 - 供应商” 搭配方案的总和，我们可以用通俗的方式拆解理解：
解的样子：每个解都是一个 “供应商选择清单”，可以看成一个长度为n的列表（对应n个部件）。比如有 2 个部件、3 个供应商，[0,2]就表示 “第 1 个部件选供应商 0，第 2 个部件选供应商 2”（代码里供应商是 0 开始编号，输出时要 + 1 变成自然序号）。
解的总数：每个部件都有m个供应商可选，就像 “每个位置有m种填法”，所以总共有m×m×…×m（n个m相乘，即mⁿ）种可能的方案。比如n=2、m=3，就有3×3=9种不同的搭配方案。
可行的解：不是所有方案都有效，只有 “总价格不超过d” 的方案才是 “可行解”。比如d=10，某方案总价格是 12，就会被排除，不算可行解。
我们要找的解：在所有可行解里，总重量最轻的那个 “供应商选择清单”，就是最终的目标解。
1.2 “最小重量机器设计问题” 的解空间树
解空间树就是把所有可能的方案，用 “树” 的形式画出来，方便我们一步步探索，它是一棵 “m 叉树”（每个节点有m个分支），我们可以结合 “选供应商” 的过程理解：
树的层次对应 “选部件的顺序”：
第 0 层（根节点）：就像我们刚开始选供应商，还没给任何部件选供应商，是初始状态（总价格、总重量都是 0）。
第 1 层：对应 “已经给第 1 个部件选完供应商” 的状态，根节点会分出m个分支（对应m个供应商），每个分支对应 “第 1 个部件选某一个供应商” 的选择，第 1 层总共有m个节点。
第 2 层：对应 “已经给前 2 个部件选完供应商” 的状态，第 1 层的每个节点又会分出m个分支（给第 2 个部件选供应商），第 2 层总共有m×m个节点。
……
第n层：对应 “所有n个部件都选完供应商” 的状态，这一层的每个节点都是 “完整方案”（叶子节点），总共有mⁿ个叶子节点，正好对应所有可能的方案。
树的分支含义：每个分支就代表 “给当前部件选某一个供应商” 的决策。比如第 1 层节点的第 2 个分支，就是 “第 1 个部件选供应商 2”，分支上还带着这个选择的 “价格” 和 “重量” 信息。
我们怎么遍历这棵树：代码里用的是 “先往深走、走不通再回头” 的方式（深度优先遍历）。比如先选 “部件 1 - 供应商 0→部件 2 - 供应商 0→…→部件 n - 供应商 0”，走完这条线后，再回头改成 “部件 n - 供应商 1”，依次尝试所有可能，就像 “挨个试完所有搭配”。
1.3 遍历解空间树时每个结点的状态值
遍历树的时候，每个节点就代表 “选到某一步的中间状态”，就像我们做题时 “写到一半的草稿”，里面记录了 4 个关键信息，这些信息能帮我们判断要不要继续往下试：
当前选到第几个部件（i）：对应代码里dfs(i)的i，比如i=2，就表示 “已经给前 2 个部件选好供应商，接下来要选第 3 个部件”。根节点是i=0（还没选任何部件），所有部件选完就是i=n（到达叶子节点）。
当前花了多少钱（current_cost）：记录前i个部件选完后，总价格是多少。比如选了部件 1 - 供应商 0（价格 3）、部件 2 - 供应商 1（价格 5），current_cost就是 8。如果这个数超过d，就不用继续选了。
当前机器有多重（current_weight）：记录前i个部件选完后，总重量是多少。比如部件 1 - 供应商 0（重量 2）、部件 2 - 供应商 1（重量 4），current_weight就是 6。这个数是我们判断 “是否更优” 的关键。
当前选了哪些供应商（current_supplier）：这是一个列表，前i个位置已经填好了供应商编号，后n-i个位置还是空的。比如i=2时，列表可能是[0,1,?,?]（n=4的情况），等i=n时，这个列表就变成了完整的供应商选择方案。
这些状态就像 “草稿上的记录”，当我们试完一个供应商，再换另一个时，会把草稿上的记录擦掉（比如把current_cost减去刚才选的供应商价格），这就是 “回溯” 的过程。

二、对回溯算法的理解
在我看来，回溯算法就像 “走迷宫找出口（最优解）”，核心逻辑是 “先试一条路，走不通就回头换条路，提前知道走不通的路直接放弃”，比暴力试所有路高效得多。

1. 回溯算法的核心：试探→回溯→剪枝
   （1）试探：“先顺着一条路往下走”
   就像我们给部件选供应商，先给第 1 个部件选供应商 0，再给第 2 个部件选供应商 0，依次往下选，直到把所有部件选完（走到迷宫尽头），看看这个方案是不是可行、是不是最优。这一步对应代码里的 “选择供应商→更新当前成本 / 重量→递归选下一个部件”。
   （2）回溯：“走不通就回头，换个方向再试”
   当我们试完 “第 n 个部件选供应商 0” 的方案后，不会直接结束，而是 “撤销” 这个选择（把总价格、总重量减回去，把供应商列表里的这个位置清空），然后试 “第 n 个部件选供应商 1” 的方案。就像在迷宫里走到死胡同，退回到上一个路口，换另一条岔路继续走，这就是 “回溯” 的精髓 —— 不浪费之前的探索，只撤销当前步骤的选择，再试其他选项。
   （3）剪枝：“提前判断这条路不行，不用走到头”
   这是回溯算法的 “优化技巧”，也是比暴力枚举厉害的地方。比如我们选到第 2 个部件时，已经花了 9 块钱，而d=10，剩下的部件就算都选最便宜的，总价格也会超过 10，这时候就不用继续选后面的部件了，直接回头换方案，这就是 “剪枝”—— 把肯定无效的路径提前砍掉，节省大量时间。在本题中，还有一种剪枝：当前总重量加上剩下部件最轻的重量，已经比目前找到的最优重量还重，就算后面选最轻的部件，也不可能更优，这时候也可以直接回头。
2. 回溯算法的基本步骤（结合本题作业）
   我们可以把回溯算法的流程总结为 3 步，对应作业代码的逻辑：
   初始化准备：先把价格、重量数据读进来，设置 “当前最优重量” 为一个很大的数（比如INT_MAX），初始化 “当前选择清单”“最优选择清单”，还会提前计算每个部件的最低价格、最低重量（方便后续剪枝）。
   递归试探与回溯：从第 1 个部件开始（i=0），依次尝试每个供应商：
   先判断：选这个供应商会不会超预算？会不会后续再怎么选都不可能更轻？如果是，直接跳过（剪枝）。
   再选择：记录这个供应商，更新总价格、总重量。
   再递归：继续选下一个部件。
   最后回溯：选完下一个部件的所有可能后，撤销当前供应商的选择，恢复到之前的状态，再试下一个供应商。
   输出结果：所有方案试完后，要么输出找到的最小重量和供应商清单，要么输出 “No solution”（没有可行方案）。
3. 回溯算法的小总结
   回溯算法不是什么复杂的算法，本质就是 “有策略地枚举”—— 它不像暴力枚举那样盲目试所有方案，而是通过 “回溯” 避免重复计算，通过 “剪枝” 减少无效尝试，在找 “组合优化问题”（比如本题、背包问题、排列问题）的最优解时特别好用。对我们学生来说，学习回溯算法的关键就是理解 “状态记录” 和 “状态回滚”：要知道每一步需要记录哪些信息（比如本题的成本、重量），也要记得试完一个选项后，把状态恢复到原来的样子，这样才能正确尝试下一个选项。