作业4

问题：数轴上有n个闭区间[ai, bi]。取尽量少的点，使得每个区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）

我的策略：
1.将所有区间按照右端点从小到大排序
2.初始化当前选择的点为第一个区间的右端点，计数器置为 1
3.依次检查后续每个区间，若当前区间的左端点大于已选择的点（即该区间不包含该点），则选择该区间的右端点作为新点，计数器加 1
4.输出计数器的值，即为最少需要的点数

证明：存在一个最优解，其第一个点选择的是右端点最小的区间的右端点。
设所有区间按右端点排序后为 I₁, I₂, …, I_n，其中 I₁ 的右端点最小。考虑任意一个最优解 OPT，设 OPT 中第一个点（最小的点）为 x。
若 x = I₁.right，则已满足。
若 x < I₁.right，则由于 I₁.right 是最小的右端点，所以 x < I₁.right ≤ I₁.left（否则若 x ≥ I₁.left，则 x 在 I₁ 内，但 x < I₁.right，那么 I₁.right 就不是最小右端点，矛盾）。因此 x 不在 I₁ 内，但 OPT 需要覆盖 I₁，所以 OPT 中必有另一个点 y ≥ I₁.left。此时可以用 I₁.right 替换 x，仍然覆盖所有区间（因为任何包含 x 的区间，其左端点 ≤ x < I₁.right，且右端点 ≥ I₁.right，所以 I₁.right 也在该区间内），且点数不变，仍是最优解。
若 x > I₁.right，则 I₁ 不可能被覆盖（因为 I₁.right 是最小的，x 更大，无法覆盖 I₁），矛盾。
因此，总可以构造一个最优解，其第一个点选为 I₁.right。贪心选择成立。

时间复杂度分析
排序：使用快速排序（sort），时间复杂度为 O(n log n)。
遍历：一次线性扫描，O(n)。
总时间复杂度：O(n log n)。

我的理解：
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优（局部最优）的选择，从而希望导致全局最优解的算法策略。