week 3

一、先搞懂问题本身
就是给一个 n 行的数字三角形，从顶上开始走，每步只能往左下或右下走，要找到一条路，让路上的数字加起来最大，最后输出这个最大的和就行。输入很简单，先给 n，再给 n 行数字，数字都在 0 到 99 之间。
二、动态规划一步步拆问题
1.1 先明确 “状态” 和递推关系（核心！）
其实动态规划没那么玄乎，先搞清楚 “dp [i][j]” 到底代表啥 —— 它就是从三角形最顶上，走到第 i 行第 j 列那个位置时，能拿到的最大数字和（行和列都从 0 开始数，比如第 0 行就 1 个数，第 1 行 2 个数，第 i 行有 i+1 个数）。
然后找递推关系：走到第 i 行第 j 列，只能从它上面两个位置来 —— 要么是第 i-1 行第 j-1 列（左上方），要么是第 i-1 行第 j 列（正上方）。那肯定选这两个里面和更大的那个，再加上当前位置的数字，就是 dp [i][j] 的值，所以递推式就是：dp [i][j] = （dp [i-1][j-1] 和 dp [i-1][j] 里的最大值） + 三角形 [i][j]
边界条件也很简单：最顶上那个位置（第 0 行第 0 列），没有前一个位置，所以 dp [0][0] 就等于三角形最顶上的那个数字。
1.2 填表怎么填才不乱
表的维度：用一个二维数组 dp 就行，大小是 n×n（其实只有上三角能用，比如第 i 行只用到前 i+1 个位置，其他位置不用管）。
填表范围：从第 1 行开始填（第 0 行已经确定了），一直填到第 n-1 行（最后一行），每行从第 0 列填到第 i 列（当前行的最后一列）。
填表顺序：两种简单的方式
从上往下填：先填第 0 行，再填第 1 行、第 2 行…… 最后填到第 n-1 行，每行从左到右填。
从下往上填：更省事！先把最后一行的 dp 值都设成和三角形最后一行一样（因为走到最后一行就没下文了），然后从倒数第二行开始，往上一行一行填，每行还是从左到右。
最优值在哪：
从上往下填的话，最后一行所有 dp 值里最大的那个就是答案。
从下往上填的话，最后 dp [0][0] 就是答案（相当于把所有路径的最大和都汇总到顶上了）。
1.3 复杂度分析（不用死记，理解就行）
时间复杂度：O (n²)。因为总共要填 n (n+1)/2 个位置，每个位置就做一次比较加一次加法，花不了多少时间，整体就是 n² 级别的，比暴力搜快多了（暴力是 2ⁿ，n=100 的话根本跑不出来）。
空间复杂度：
普通版：O (n²)，就是用个二维数组存所有 dp 值。
优化版：O (n)。其实填的时候只需要上一行的信息，比如从上往下填，填第 i 行只需要第 i-1 行的 dp 值，所以用一个一维数组反复覆盖就行，能省不少内存。
三、自己学动态规划的真实感受
刚开始觉得动态规划好难，光 “状态定义” 就绕不明白，后来发现核心就两点：一是搞清楚 dp [i][j] 到底代表啥（一定要和问题目标挂钩，比如这里就是 “到当前位置的最大和”），二是找到递推关系（怎么从之前的状态得到现在的状态）。
数字三角形这个题特别适合入门，因为它的最优子结构很明显 —— 当前位置的最优解，全靠前面两个位置的最优解。而且能直观感受到动态规划的优势：如果用暴力搜索，每个岔路都试一次，n=100 的话根本不可能算完，但动态规划把每个子问题的结果存下来，后面直接用，效率一下子就上去了。
还有个小技巧：从下往上填比从上往下填更方便，不用处理边界的特殊情况（比如第 i 行第 0 列，只能从上面一行第 0 列来，从上往下填要判断 j=0 的情况，从下往上就不用）。空间优化也很实用，虽然 n=100 时二维数组也够用，但学会一维滚动数组，后面遇到更大的问题也能应对。