博弈论学习笔记

博弈论

SG函数

定义

• SG函数是在组合游戏上的函数，用 \(SG(X)\) 表示状态 \(X\) 的函数值。

公式

• 设状态 \(X\) 的所有后继状态为 \(A_1,A_2,\dots,A_k\) ，则：\(SG(X) = mex \left\{SG(A_1),SG(A_2),\dots,SG(A_k) \right\}\)。
• 若有多个相互独立的组合游戏 \(B_1,B_2,\dots,B_k\) ，则总的 \(SG\) 值为：$ SG(B_1) \oplus SG(B_2) \oplus \dots\oplus SG(B_k)$。
• 当 \(SG(X) = 0\) 时，先手必败，反之先手必胜。

结论

注意，一下所说的先手必胜均为当前状态的先手，也就是前继状态的后手。

• 若一个状态的所有后继状态均为先手必胜，则这个状态为先手必败。

• 若一个状态的所有后继状态有一个先手必败，则这个状态为先手必胜。

推论

假设状态 \(A\) 必败，则满足任何非 \(A\) 状态都可以转化成 \(A\) 状态，所有 \(A\) 状态只能转化为非 \(A\) 状态。（注意可以和只能）

NIM游戏

普通NIM游戏

题面

有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\) 个石子，先后手轮流从任意一堆拿走至少一枚石子，不能操作者输，问谁获胜？

解法

求出 \(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n\) ，若值为 \(0\) 则先手必败，否则先手必胜。

解释

这个用推论很好解释，这时 \(A\) 状态就是所有数异或和为 \(0\)，因为不能不拿，所以 \(A\) 状态一定会被破坏为非 \(A\) 状态，而且可以证明非 \(A\) 状态一定可以变为 \(A\) 状态。

NIM-K 游戏

题面

有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆有 \(a_i\) 个石子，每次可以取走 \(1\) 至 \(k\) 堆石子中的任意颗石子，不能操作者输。

解法

求出每个二进制位上一的个数，