网络流基础模型小记 Ⅰ

这篇博客主要记录我这周学习网络流基础的心得，有一些基本的模型。

二分图、DAG、无向图 上的那些经典模型可能会放在之后的博客。咕。

技巧

1. 拆点、点边互化

我理解的拆点指：拆成入点和出点；原图边为出点向入点，点内边为入点向出点，入点出点分别连源汇或汇源。

拆点可以将入点和出点看做二分图的两部分，也可以不看成二分图。

流量限制（割：割去的代价）

流量限制（上限 / 下限 / 上下界）针对边，拆点、点边互化对点限制。

例如：拆点限制点的经过次数、数轴区间模型中点边互化可以限制两边中间的点。

拼合路径

DAG 最小路径覆盖及变种。出点作为左部点，入点作为右部点，形成二分图。

若路径起点需要额外费用，则由源点向入点连边，跑费用流。

2. 按费用拆点、拆边

通常是每次经过的费用不同，比如“修车”中的“师傅点”，又如边“第一次经过”才有贡献。

此时可以按费用的不同拆成不同的点和边。

通常费用流的贪心会保证正确性，而手动贪心可以动态加边加点减小网络规模（存疑）。

3. 动态加边加点

流量和费用在过程中累加（比如 Dinic() 的结果累加）。

第一种：见 \(2\) 中内容，这样贪心不会破坏费用流凸性（存疑），就不会生成负环（存疑）。

第二种：伴随枚举。如：“魔术球问题”。

4. 绑定（割）

建权值为 \(\inf\) 的边。

5. 求一方案

通常会在跑完网络流的图上考虑，判断边是否未流过/是否流经/是否满流。

对于最小割，要分别从 \(S,T\) 出发染两种颜色，从而定下关键割边（颜色 \(S\to T\)）。（存疑）

模型——流

1. 流模拟路径

用流模拟多条路径，源点连起点，终点连汇点，流量限制途径路径条数。

通常需要精细分析点、边经过次数的限制，从而正确地赋流量，否则可能需要进行一些奇怪的特判。也许有时网络流和题目要求不符，不得不特判。

2. 激活流量

本质：流模拟路径。

即向某个点通入流后，它会激发出某大小的流。同时要求每个点都被经过。

1. 对每个点建立流量供应点，先从源点输送对应大小的流。直接用这些流去更新其他点，并限制每个点都被经过。唯一的问题是自己的流激活自己，此时要求无环（DAG），由题目保证或缩点。若拆点，则流量供应点连向出点。

2. 可以搭配“强行激活”的操作，即用本该被激活的流“走到自己”。若拆点，则流量供应点连向入点。

也就是说我们当成所有流一开始就被激活了，但是真正应当被激活的流量无法满足“走到”的限制；强行激活可以走到自己。

限制的方式：

• 不吞流量：拆点，用点内边限制。
• 吞流量：不拆点，用到汇点的边限制（针对这吞掉的流量）。

例题：P2469 [SDOI2010] 星际竞速、D. For the Emperor!。前者不拆点（用点到汇点的边限制，即用最大流限制；从流量供应点连向原图边所连向的点），后者的题解（正确性存疑）：link。

另外，如果激活的流量都是 \(1\) 且 每个点吞 \(1\) 的流量，这其实就是 DAG 最小路径覆盖（或其变种），如前一道例题（此题可以用“激活流量”、“拼合路径”两种方式理解）。

3. 区间覆盖

本质：流模拟路径。

二种模型的思想都是用流模拟覆盖，想象一下流沿数轴从左向右推进的过程。

区间路径划分（区间集合划分）

不交区间之间连边，限制路径数，用流模拟选择路径。

数轴区间

可以看做前者的优化。建出数轴，区间表示为数轴上的额外连边。数轴上的流量表示未被覆盖，区间上的流量表示覆盖次数。若限制多个区间的流量和较难，不妨转化为数轴上流量的限制。

对于开区间可以直接连边，对于闭区间点边互化为开区间。可以离散化。

• 覆盖次数 \(\leq\) 的限制：限制总流量。
• 覆盖次数 \(\geq\) 的限制：限制数轴上的容量。

4. 自动机

本质：流模拟路径。

基于自动机建图跑网络流，自动机：字符串或 DP（对 DP 的有效转移建自动机）。

例题：P2766 最长不下降子序列问题。

5. 流量平衡

即用流量模拟运输（可以就是流量的运输），对于要运出 \(x\) 的点 \(u\)，连边 \((S\to u,x)\)；对于要运入 \(y\) 的点 \(v\)，连边 \((v\to T,y)\)，即容量为需要的减量/增量。

原图边正常建，容量根据意义定。可以加费用。

或许也可以通过数学式子建模。

模型——割

最小割的建模和网络流关系不大，但实现和求方案都和网络流密切相关。

技巧：绑定即建权值为 \(\inf\) 的边，表示无法切断；否则可以切断。

二集合划分。

1. 连通性

割掉边有代价，有的边不能割。要求 \(S,T\) 不连通，求最小割。

注意边是有向边还是无向边。（非常存疑）

平面图最小割

等于对偶图最短路。

这里的对偶图和通常的不一样，外围的平面是分开的。（没仔细想，存疑）

割断路径

即处理“不存在某种路径”的限制。

让可能作为路径开头的点连源点，可能作为路径结尾的点连汇点，路径中的点正常连边。

使用要求：每条源点到汇点的路径和每条不能存在的路径一一对应（或许可以在特殊情况下放宽：错解不优）。因而常与同余染色相结合。

2. 贡献取舍

通常是：最大贡献 \(=\) 总贡献 \(-\) 最小割。

要将贡献的加减转换成二集合划分，就需要找到类似二分图的结构（关系）。

这一部分内容较为灵活和巧妙。（也许）

黑白染色

两种理解：二分图染色、\(\bmod 2\) 同余染色。

打包奖励

“奖励模型”，特征为“且”（若干点划分进同一某集合）才有贡献。此时让它们和一个奖励点绑定，奖励点再按点权连源点或汇点即可。奖励贡献也先加进 sum。

经典例题：“文理分科”。

2025.6.5