多边形面积的容斥证明

巧妙的容斥，但学长没讲证明，我又没找到非归纳的证明，于是和同学一起口胡了一个。

思考+讨论约 \(1.5h\)，在三位同桌（大雾）的帮助下大概证出来了，可能还是不够严谨。

建议在平面直角坐标系内画一个奇形怪状的凹多边形来手玩。

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设 \(O\) 为平面内任意一点，将多边形的顶点逆时针排序为 \(A_0,A_1,\ldots,A_{n-1}\)，则多边形的面积：

\[S={1\over2}\sum_{i=0}^{n-1}\overrightarrow{OA_i}\times\overrightarrow{OA_{(i+1)\bmod n}} \]

顺时针则求得 \(-S\)。

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证明：

叉积性质

\(1\over2\) 叉积即带符号的三角形面积，多边形每条边对应的面积为正/负，称之为 \(+1\) 边 / \(-1\) 边。

对于边 \(AB\)（\(A=A_i,B=A_{(i+1)\bmod n}\)），引射线 \(OA\)，看 \(AB\) 相对于 \(A\) 之后的射线是顺时针还是逆时针转（转动 \(<180^\circ\)），顺时针就是 \(-1\)，逆时针就是 \(+1\)。

射线性质

若 \(O\) 在多边形上，就施以轻微扰动，让它去多边形内/外。以 \(O\) 为起点，引一条射线 \(r\)，要求 \(r\) 不经过多边形的顶点（自然也不与多边形的边重合），称这样的射线为“可用射线”，此时 \(r\) 交的边都“跨过”\(r\)。

由于“叉积性质”，跨过 \(r\) 的边必定是 \(+1\)/\(-1\) 交替出现。

若点 \(O\) 在多边形外，由反证法可得若有边跨过 \(r\)，则第一条跨过 \(r\)（交点离 \(O\) 最近）的边必定是 \(-1\) 边（反证法：保证是第一条，还要形成闭合回路，那么必定会绕成顺时针，与假设矛盾）。同理，\(O\) 在多边形内时，第一条跨过 \(r\) 的边必定是 \(+1\) 边。

贡献系数

要求对平面内每个点 \(B\)，若其在多边形内，则贡献系数为 \(1\)，否则（多边形上/多边形外）贡献系数为 \(0\)。首先忽略多边形上的点、不在可用射线上的点。

从 \(O\) 向 \(B\) 引射线，称射线在 \(B\) 之后的部分为 \(r'\)。跨过 \(r'\) 的边的 \(\pm1\) 之和即该点的贡献系数。

\(r'\) 可看作“\(B\) 逃逸的过程”，每有一条边跨过则必定会转换“是否在多边形内”的状态，否则不转换。因为最终必定在多边形外，所以若 \(B\) 在多边形外则恰有偶数条边跨过 \(r'\)，否则恰有奇数条边跨过 \(r'\)。

于是多边形外的点 \(B\) 贡献系数为 \(0\)。又由于“射线性质”，无论 \(O\) 在何处，多边形内的点 \(B\) 对应的 \(r'\) 都会首先被 \(+1\) 边跨过，故贡献系数是 \(+1\)。

改为顺时针

顺时针排序则所有叉积全部取相反数，结果显然为 \(-S\)。

2025.8.12 & 13 & 14