凸壳操作小记

昨晚下决心学烟火表演，今天终于想明白，昨天还想到一种简单的思考方式。

本文以下凸壳为例，上凸壳的情况容易类比。

Mincowsky Sum

两个点集 \(A,B\) 的闵可夫斯基和定义为 \(\{a+b\mid a\in A,b\in B\}\)，即将一个点集中的点看成向量，另一个点集中的点沿着每个向量移动。二维平面上有 \(\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}\)。

对下凸壳的闵可夫斯基和求下凸壳即 \((\min,+)\) 卷积：\((F*G)_i=\min\limits_{j=0}^iF_j+G_{i-j}\)。这显然说明了下凸壳做 \((\min,+)\) 卷积仍下凸，可用于归纳证明凸性。

\((\min,+)\) 卷积可以利用差分+归并快速计算，原理是贪心。具体方法：\((F*G)_0=F_0+G_0\)，由于下凸，差分数组（即相邻两点间斜率）单调不降，将两差分数组（从 \(\Delta_1=F_1-F_0\) 开始）归并排序后作为新的差分数组即可。

有时我们可以维护差分数组的连续段（值相同），显然归并时连续段仍连续。为降低时间复杂度，可以用平衡树等可并 DS 维护差分数组（可以最后再排序就只需要合并；平衡树保证随时有序）。

优化 DP 时通常有两种题——自己构造线段树结构来优化 DP（暴力归并）、在给定的树上用 DS 维护。

Slope Trick

Slope Trick 是一种维护凸壳的方法，通过记录初始 \(y\)、斜率和斜率变化的“拐点”来维护图像。对每个拐点仅记录其横坐标 \(x\)，表示 \(x\) 右侧的斜率比左侧大 \(1\)（上凸壳则是小 \(1\)），拐点集合是可重集，即同一位置斜率变化量可 \(>1\)。有一个点/一段斜率为 \(0\)，它即为 \(\min\) 所在处。

这里给出一些 Slope Trick 对凸壳的操作（忽略对初始 \(y,k\) 的维护；前者通常容易，而后者可从已知斜率处推出，有时甚至不用求出）：

• \(A(x)+B(x)\)（\(A(x),B(x)\) 均为下凸函数/一次函数）：拐点集合合并。
  • 考虑斜率单调，容易证明下凸函数 \(+\) 下凸函数/一次函数后仍下凸。
• 前/后缀 \(\operatorname{check min}\)：删除 \(k=0\) 点/段的右/左侧所有拐点。
• 平移/翻转：打标记。

为了维护 \(\min\)，可使用对顶堆分别维护 \(k=0\) 点/段左、右侧的拐点集合。合并集合时可使用可并堆。复杂时也许可使用平衡树。

求答案时可以还原图像或记录决策点，后者我还不理解。

这和 Mincowsky Sum 的维护方式本质不同，Slope Trick 维护坐标，而后者维护 \(x\) 坐标上的长度（距离）。这使得它们擅长的操作不同——Slope Trick 擅长 \(+\)，而 Mincowsky Sum 擅长 \((\min,+)\) 卷积。Slope Trick 维护的东西似乎更具概括性（考虑坐标相减即得距离，而多段距离累加才得坐标）。

结合

有的题目既要维护 \(+\) 又要维护 \((\min,+)\) 卷积，此时用 Slope Trick 就需要对具体图像细致分讨。

这能忍？（×）
我没学懂。（√）

不妨在拐点集合上做 \((\min,+)\) 卷积，将一个函数看成差分值的若干连续段，考虑它对另一个函数的拐点集合的影响。一段一段插入，对于一段，找到它两端拐点在另一个函数里所对应的拐点，那么只需要将右端拐点及更右统一向右平移段长。对于向右绵延无尽的段，后面就都是它或它完全不出现。

由于 Slope Trick 中的斜率是每次变化 \(1\) 的，故我们有办法让每次都能找到对应拐点。

关于边界：由于 \((\min,+)\) 卷积有左端为 \(0\) 的边界，我们让 Slope Trick 的左边界也是它。右边界不限。

这样就只需要简单的平移了。我觉得它在手推图像上很好用，但用平衡树实现起来或许会很难写（没写过）。

参考

闵可夫斯基和（Mincowsky sum）。
【学习笔记】Slope Trick。
【APIO2016】烟火表演。

2025.7.3