两个 GF 转化技巧

1

常系数齐次线性递推转 \([x^n]{P(x)\over Q(x)}\)。

递推：已知 \(a_0,\ldots,a_{k-1}\) 和 \(b_1,\ldots,b_k\)，且 \(a_i=\sum_{j=1}^ib_ja_{i-j} \ (i\geq k)\)，求 \(a_n\)。

记 \(A(x)=\sum_{i\geq0}a_ix^i,p_i=[x^i]P(x),q_i=[x^i]Q(x)\)。那么 \(A(x)Q(x)=P(x)\)。

钦定 \(\forall i\geq k,p_i=0\)。故对于 \(i\geq k\)，有：

\[\begin{gathered} \sum_{j=0}^iq_ja_{i-j}=0 \\ a_i=\sum_{j=1}^i-{q_j\over q_0}a_{i-j} \end{gathered} \]

又因为：

\[a_i=\sum_{j=1}^kb_ja_{i-j} \]

故我们构造 \(q_0=1,q_j=-[j\leq k]b_j\) 即可。

此时我们知道了完整的 \(Q(x)\)，而 \(P(x)\equiv A(x)Q(x)\pmod{x^k}\)，这样就得到了完整的 \(P(x)\)。

概括：\(Q(x)=1-B(x),P(x)=A(x)Q(x)\bmod x^k\)。

\[\deg Q(x)\leq k,\deg P(x)<k \]

接下来可以套 Bostan-Mori。正着反着用都可以，于是也能用来手推 GF \(\longleftrightarrow\) 递推（例题：整数的 lqp 拆分）。

2

简单的半在线卷积转乘法逆（复杂的似乎转不了）。

给出 \(f_0\)，已知 \(g_1,\ldots,g_n\)，\(f_i=\sum_{j=1}^ig_jf_{i-j}\)，求 \(f_1,\ldots,f_n\)。

首先 \(f_0=0\) 时 \(f\) 是全 \(0\)，直接判掉。

否则设 \(f\) 的 OGF 为 \(F(x)\)，构造 OGF \(H(x)\)，使得 \(F(x)={1\over H(x)}\)。

那么有 \(f_0h_0=1\)，得出 \(h_0={1\over f_0}\)。

对于 \(i>0\)，\(\sum_{j=0}^ih_jf_{i-j}=0\)。又有 \(f_i=\sum_{j=1}^ig_jf_{i-j}\)，整理一下是 \(\sum_{j=0}^ig_jf_{i-j}=0,g_0=-1\)，乘 \(-h_0\) 得到 \(\sum_{j=0}^ig'_jf_{i-j}=0,g'_j=-g_jh_0,g'_0=h_0\)。现在有 \(g'_0=h_0\)，那么令 \(h_i=g'_i=-{g_i\over f_0} \ (i\geq0)\) 即可。

概括一下，即 \(H(x)={1-G(x)\over f_0}\)。

2025.7.17