基于结构的 DP 入门
仅记录我知道的方法，个人的见识很少，理解很浅。分类和一部分内容参考《dp 题方法总汇》。
生成结构
DP 主要用于生成结构和模拟过程，生成结构的方式同样是一种过程。
集合（背包）
无序。
- 以任意顺序转移，依次确定每个数的系数。
具体的技巧：
- 合并物品：
- 限制总和转多重背包。
- 多重背包的二进制拆分和单调队列优化。
- 重量限制大：
- （最优化）价值小：换维。
- 重量小：
- 完全背包：同余最短路。
- 对二进制进位 DP（类似数位 DP）。
- （计数）转 GF，提取系数，直接做或用 Bostan-Mori。
- 与过程形成双射，对过程 DP：添加或整体 \(+1\)。
排列
有序，且性质优秀。
两种题：统计排列，统计映射（位置分配）。
排列即位置与值的二分图完美匹配：
- 将匹配拆为先后两部分，按权值依次一起处理左右部点，记录已匹配的对数：P14364 [CSP-S 2025] 员工招聘、CF285E Positions in Permutations。
- 按左部点/右部点（排列/逆排列）顺序依次添加匹配：
- 考虑已匹配的另一部点的相对顺序：
- 依左部点（位置）：AT_dp_t Permutation）。
- 依右部点（数值）：排列逆序对 DP、连续段 DP。
- 考虑另一部点的绝对大小（通常依赖单调性）：
- 依左部点：只填一个单调子序列，剩下的组合计数解决；又如 CF1437F Emotional Fishermen。
- 依右部点：构建笛卡尔树的区间 DP（分成子问题后右部点看相对顺序，归并修正贡献）；又如：AT_arc093_d [ARC093F] Dark Horse。
- 考虑已匹配的另一部点的相对顺序：
序列
有序，比排列更复杂。
二分图视角：一个左部点恰匹配一个右部点，一个右部点可匹配多个左部点。
防止算重：
- 重排类问题，先对映射计数，再除以阶乘：AT_abc431_f [ABC431F] Almost Sorted 2。
- 对相同数值一起转移。
其他和排列类似。
一些特殊序列的常用方法：
字符串
可以视作自动机上的路径。
- 从前往后或从后往前一位位填，构建一个自动机状态记录关键信息：AT_agc046_d [AGC046D] Secret Passage。
数
统计范围：\([1,x]\) 中的所有数，\(x\) 在 \(y\) 进制下有 \(n\) 位。
本质是带“数的范围”限制的字符串，所以给自动机加状态即可。
- 从高位到低位填：记录是否顶上限、是否已有非 \(0\) 位，通常采用记搜，状态表示确定高位限制后的贡献和。
- 从一段区间的两端扩展：状态里钦定和哪段区间匹配，并记录当前的数与 \(x\) 的这段区间的大小关系，最后取以 \(x\) 的最低位为一端的区间（假定 \(x\) 无前导 \(0\)，注意若包含最高位，则只能 \(</=\)，否则可以 \(</=/>\)）。例题：P9129 [USACO23FEB] Piling Papers G。
括号序列
栈、树等结构都可以视作括号序列。
- 从左到右填，记录未匹配的左括号数：CF1153F Serval and Bonus Problem。
- 状态表示 \((\ldots)\)，初始为空，有拼接和围括号两种转移：2025.9.25 T4。
- 折线图。
序列上的结构：
分段
- 记录段的结尾/钦定当前是段的结尾：2025.10.25 T2。
区间
在序列或数轴上，有关于区间的限制/贡献，需要选择一些位置或一些区间。
- 离散化后拆成若干极小段，记录被选择/被覆盖的最右极小段（或钦定当前这段就是）：P9871 [NOIP2023] 天天爱打卡。
- 将区间按左端点/右端点排序，依次考虑每个区间，把 DP 值挂到左端点/右端点上：2025.11.8 T2。
树/森林
我咋没怎么做过用 DP 生成树的题啊。
- 有根树有天然的子结构划分，而无根树可以转成有根树。
- （有标号）无限制、限制或贡献与度数有关时，可以用 Prufer 序列统计无根树，有根树可以视作选一个根。
有根树的生成方式：
- 初始为空，添加根后拆成若干棵子树（括号序列的这种转移相当于生成森林）：CF438E The Child and Binary Tree、51nod-1728 不动点（都是多项式题）。
- 与深度强相关时，按深度一层层填：P3959 [NOIP 2017 提高组] 宝藏。
对于树，更多考察的是给定树结构上的 DP，而非生成一棵树的 DP。
树/森林上的结构：
简单路径/虚树
- 树上合并，设 空、续（有向上的插头）、止 三种状态：P8867 [NOIP2022] 建造军营。
（可以看出提前钦定的插头可以使 DP 更清晰。）
树上背包
- 树上合并：每个结点上只有一个重量为 \(1\) 的物品时，时间复杂度为 \(O(nm)\)。P4516 [JSOI2018] 潜入行动。
- DFS 序上增量转移：针对只求根信息的树上依赖背包，时间复杂度为 \(O(nm)\)，且便于多重背包的单调队列优化。P6326 Shopping。
外向/内向树拓扑序计数
可以 DP 得到结论，也可以用组合做法求出：
\[n!\over\prod_{u=1}^nsiz_u
\]
记得曾经有一道对前缀 \(\max\) 建树的题，但我忘了叫啥了。
森林连通块数量
- 点数 \(-\) 边数；进一步有欧拉公式。
DAG
- 删去或添加所有入度/出度为 \(0\) 的点，归到子问题。可以视作给 DAG 分层，且层数即最长路（存疑）。
- 按到某点/从某点出发的最长路分层，一层层扩展：P11173 「CMOI R1」We Want To Run / Nilpotent。
图
- 通常对点集状压，考虑导出子图中的边或所有边。
图上的结构：
路径
- 关键信息：起点、终点。
生成树/斯坦纳树
- 仿照树的生成方式，先从根连向新的根，再合并根相同的若干子树。实际转移时以点集为阶段，所以先合并再延伸。
独立集等（相邻）
增量构建，考虑一段前缀的点，记录与后缀可能相邻的点，跑轮廓线 DP。
找尽量短的轮廓线：
- 树：重链剖分或点分树。
- 网格图：选行、列中短的那个。
连通性相关
- 不连通 \(\to\) 连通：代表元容斥或求 \(\ln\)。
- 连通 \(\to\) 不连通：直接拼接或求 \(\exp\)。
2025.11.26
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