CSP-S 2025 题解

咕了太久太久，都要考 NOIP 了才来补。

A P14361 [CSP-S 2025] 社团招新 / club

\(2\mid n,{n\over2}\) 的限制是关键，我们先把每个人贪心分给使 ta 满意度最大的集合，再看有无集合大小 \(>{n\over2}\) 来反悔贪心。

由鸽巢原理，最多一个集合超载；且把超载部分按变化量贪心分给其他集合不会导致新的超载。

最终方案的最优性考虑调整法，但我不太会严谨证明。

B P14362 [CSP-S 2025] 道路修复 / road

\(k\leq10\)，且也许能规约至斯坦纳树，所以考虑 \(2^k\) 状压枚举使用的额外点。

\(n<<m\)，启发我们先跑 Kruskal，只保留 MST 的边。对每个额外点的边也排序，这样可以在状压（从小到大枚举集合）时拆 \(lowbit\) 归并得到边集。边集还是太大，状压时也只保留 MST 中的边即可。时间大概是 \(O(2^kn)\)。

也可以提前排序（而不是归并）。

C P14363 [CSP-S 2025] 谐音替换 / replace

先判掉 \(|t_{j,1}|\neq|t_{j,2}|\)。

学 DS 学的：建两个 ACAM，每个颜色在两棵 fail 树上各有一个坐标，每次询问两条直链，问其点集的交的大小。差分为根链，DFS 扫一维，另一维用 BIT 维护（我是用分块卡过民间数据的，因为 \(L>>n\)）。

思考：二维数点的限制是“且”，字符串匹配的限制也是“且”，能不能把变化前后的串拼起来做字符串匹配，变成一维问题？

好做法：\(s_{i,1}=s_{i,2}\) 的 \(i\) 不管。先对 \(s_1,s_2\)、\(t_1,t_2\) 找极长相同前后缀，那 \(s\) 能替换 \(t\) 当且仅当中间那段变化前后分别重合，且左右两段各自匹配，并且仅此一种方案（位置）。那我们把中间那段左右加上特殊字符 #，内部把变化先后的串拼接在一起，用 ACAM 做多模式串匹配即可。

D P14364 [CSP-S 2025] 员工招聘 / employ

不太懂“提前钦定”等 trick 的含义。对于自己的理解，搬一句昨天写的总结：提前 / 延迟钦定（处理限制）、提前 / 延迟计算贡献，拼合前后两部分各自确定的信息。也就是将决策（满足限制，造成贡献）拆成先后两部分（甚至多部分，例如分层），再通过关键信息拼起来。这有点像 DS 中计算贡献的反演。

题解也是之前写的：

先固定每天的人是否被录取：\(t_i=0/1\ (i\in[1,n])\)，则 \(s_i=0\to t_i=0\)，若 \(s_i=0\) 则该天的人一定不被录取，否则每个人（右部点）看 \(s_i=1\) 的天（左部点）有一个分界线（单调性）。

我们设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 天（左部点），有 \(j\) 个 \(t=0\)，有 \(k\) 组完整匹配的方案数（\(s=0\) 的位置不视作左部点，最后乘阶乘）。在 \(j\to j+1\) 时立即处理所有 \(c=j+1\) 的右部点（初值处理 \(c=0\)，最终还要转移剩下的右部点），枚举这些右部点中选了几个向前匹配（剩下的向后匹配）即可。时间复杂度 \(O(n^3)\)。

这样设状态、转移的好处：将填 \(t_i\) 的过程融进 DP 的阶段（有点像 DP 套 DP）；因为不确定性无法直接对所有点排序，但这样“动态地实现了排序过程”。

2025.11.19