扫描线随感

离线扫描线

扫描线的本质：高自由度静态问题 \(\to\) 低自由度动态问题。

思考过程：

1. 唯一的隐藏维度是值域，先考虑是否交换某维度和值域。新的隐藏维度作为“值域”，其他维度作为“范围”。

2. 用正交范围刻画修改、查询的范围，修改、查询都形如范围的每个维度有 \(2-side\) 限制，可能还带有一个值，此时范围和值域作为“介质”。

3. 决定扫描的维度，将它们差分或分治为 \(1-side\)（修改范围和查询范围在每个扫描维度上方向相反，查询范围和扫描在每个扫描维度上方向相反），此时它们各贡献 \(1\) 的自由度，各用一个指针处理，其余“范围维度”使用 DS 维护。此时“范围维度”分为“扫描维度”与“维护维度”。

4. 扫描线的一个状态是“扫描维度”空间中的一个点，表示当前正维护该范围内的“维护维度”与“值域”。修改和查询都表示为“点”+“维护维度的范围”+“值”，在每个扫描维度上各自是单点或 \(1-side\) 范围。我们将状态转移至每个询问处，每次移动一个指针时处理修改，代价为仅固定该维坐标得到的修改点的数量（如二维扫描线，一行或一列的点数）。确定转移状态的路径。

5. 修改贡献给查询 + 查询抓修改的贡献，通过反演平衡二者。之后用 DS 维护。

tricks

常见的维度有 时间维 / 操作维、序列维、值域维。扫时间维时常忽略扫描线。

要求修改在查询之前，可先分离修改和查询。

刻画时去重：保留当前最能造成贡献的元素（支配其他元素），视作代表元。注意去重条件可能与扫描状态有关，比如单调性。

对扫描过程可持久化即可在线查询。

半在线扫描线

DP。

基于扫描线的 DP 优化：

• DP 的空间分为状态的若干维度和值域维，其过程是半在线扫描线：扫状态的各个维度，用之前求出的答案推出之后的答案。

• 所以 DP 优化的第一步是处理维度：先确定哪个维度作为值域（考虑是否换维），再确定扫哪个 / 哪些维度，并用 DS 维护不扫的状态维度。而第二步是确定扫描顺序（DAG 拓扑序）。之后是第三步：优化转移，此时要平衡填表和刷表（二者可以共存），这对应扫描线中的反演。

2025.10.12 & 2025.10.13