莫队随感

有些内容是口胡的，比如“在线二次离线莫队”。

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莫队是多指针扫描线，常用的是双指针扫描线。我们仍用扫描线的理论刻画。

移动方式

莫队的最后一个指针是单调移动的。

加权

区间莫队：点在 \(r=l\) 上。双前缀莫队：点是 \((x,0)\) 或 \((0,y)\)。它们都满足：每个维度的每个坐标都只有 \(O(1)\) 个点，故移动的代价是 \(O(1)\) 的。

那如果点是杂乱的，即只保证点的总数，不保证一次移动只添加或删除 \(O(1)\) 个点，此时莫队的分块就不对了。

• 一种做法是扰动，将每个维度分别离散化为排列。最后一维不用，因为它的指针单调移动。
• 另一种做法是加权分块（我目前只会对区间莫队使用），按如下方式分块：若一个位置的点数 \(+1>B\) 则单独分为一块，否则按“位置数”\(+\)“点数”\(\leq B\) 分极长的块。“单点块”不会有块内指针移动，而“多点块”块长 \(\leq B\)，则 \(l\) 指针的移动复杂度为 \(O(n+mB)\)；每块 \(r\) 指针单调移动，相邻两块长度之和 \(>B\)，块数为 \(O({n\over B})\)，故 \(r\) 指针的移动复杂度为 \(O({n^2\over B})\)，取 \(B={n\over\sqrt m}\) 即可平衡为 \(O(n\sqrt m)\)。

二次离线

这里专指区间莫队。原问题不能差分，需要双指针扫；但移动指针时的贡献计算可以差分，不妨再次离线，用单指针扫描线处理。

我们的贡献形式有 \(2\) 类：

• \([1,i]\leftrightarrow i,i\in[l,r]\) 或类似的：预处理其前缀和。
• \([1,p]\leftrightarrow i,i\in[l,r]\)：对每个 \(i\) 查询，或对 \([l,r]\) 批量处理。

在线二次离线莫队：对单指针扫描线可持久化，其他同在线莫队。

2025.10.13