容均摊

容均摊

记信息复杂度的代表量为“容”，容的变化次数与时间消耗有关。

容比势能更加直观，有时能更直接地证明均摊复杂度。

一般的维护方式：容变化时暴力处理，容不变时简单维护。

task 1（Luogu 花神游历各国 加强版）

维护长为 \(n\) 的非负整数序列 \(a\)，支持 \(m\) 次操作：单点修改、区间开根（向下取整）、区间求和。

solution：

考虑一个数经过 \(O(\log\log V)\) 次修改必定变为 \(0/1\)，于是设 \(i\) 的容为 \(a_i\)，它的操作数为 \(O(\log\log a_i)\)。

构建线段树，则一个线段树结点的容为其区间内叶子的容的集合，它的操作数为区间内叶子的操作数之和。

考虑修改影响：单点修改会改变 \(O(\log n)\) 个结点的容，对总操作数的增量为 \(O(\log n\log\log V)\)。

再考虑线段树结构的时间复杂度，显然是 \(O(n+m\log n)\)。

故总时间复杂度为 \(O((n+m)\log n\log\log V)\)。

task 2（LOJ 市场）

维护长为 \(n\) 的整数序列 \(a\)，支持 \(m\) 次操作：区间加、区间 \(/d \ (d\geq2,d\in N)\)（下取整）、区间求 \(\min\)、区间求和。

solution：

设线段树结点的容为它的区间的极差。

区间 \(/d\) 会使极差减半（但有向下取整的误差），那么仅需 \(O(\log V)\) 次操作就能将极差缩小至 \([0,1]\)。此时若极差不变，则将改为区间加（或对 \(\max,\min\) 分别维护），否则暴力递归。

初始的总操作数为 \(O(n\log V)\)。

考虑区间加对容的影响：有 \(O(\log n)\) 个相交但不被包含的结点，它们的容会变化，对总操作数的增量为 \(O(\log n\log V)\)。

故总操作数为 \(O(n\log V+m\log n\log V)\)。而线段树结构的时间复杂度为 \(O(n+m\log n)\)，那么总时间复杂度为 \(O(n\log V+m\log n\log V)\)。

task 3（UOJ 数据结构基础练习题）

维护长为 \(n\) 的整数序列 \(a\)，支持 \(m\) 次操作：区间加、区间开根（下取整）、区间求和。

分析同 task 2。

2025.9.28