【刷题笔记】二分法——寻找两个正序数组的中位数

关键词：对数复杂度，二分查找

题目表述：

给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数

进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(log (m+n)) 的算法解决此问题吗？

示例 1：
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
示例 2：
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
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class Solution(object):
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        方法1）将两个数组归并，然后找索引的数即可
        """

        import numpy as np
        list_merge = np.sort(nums1+nums2)
        if len(list_merge)%2==0:
            return (list_merge[len(list_merge)//2-1]+list_merge[len(list_merge)//2])/2.0
        else:
            return list_merge[int(len(list_merge)/2)]

    def findMedianSortedArrays2(self, nums1, nums2):
        """
        重点在于进阶的方法；确保时间复杂度为对数复杂度，
        一旦要求对数复杂度，通常就涉及到二分法；
        二分法就是要折半查找，对于这个问题，可以归纳为找到两个有序数组中的第k大的值； k = (len(num1)+len(num2))/2


        所以对于两个数组A，B，要找到第k个元素，可以从两数组的k/2-1位置开始，向后比较，
        如果A[k/2-1]<B[k/2-1]那么，A中小于k/2-1的部分肯定要比中位数小，可以不用考虑；
        如果A[k/2-1]>B[k/2-1], 可以排除B中小于小于k/2-1的部分
        这样就排除了A或者B数组当中接近一半的查找范围，然后在剩下的数组范围上，修改k的值，继续使用二分查找，不断排除, 缩小搜索范围，最终找到答案；

        :param nums1:
        :param nums2:
        :return:
        """

        def getKthElement(k):
            """
            - 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
            - nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
            - 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
            - 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
            - 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
            - 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
            """

            index1, index2 = 0, 0
            while True:
                # 特殊情况
                if index1 == m:
                    return nums2[index2 + k - 1]
                if index2 == n:
                    return nums1[index1 + k - 1]
                if k == 1:
                    return min(nums1[index1], nums2[index2])

                # 正常情况
                newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1)
                newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1)
                pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
                if pivot1 <= pivot2:
                    k -= newIndex1 - index1 + 1
                    index1 = newIndex1 + 1
                else:
                    k -= newIndex2 - index2 + 1
                    index2 = newIndex2 + 1
        # run
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        totalLength = m + n
        if totalLength % 2 == 1:
            return getKthElement((totalLength + 1) // 2)
        else:
            return (getKthElement(totalLength // 2) + getKthElement(totalLength // 2 + 1)) / 2




if __name__ == '__main__':
    ob = Solution()
    import time
    t0 = time.time()
    a = list(range(0, 80000000, 2))
    b = list(range(4, 80000000, 2))
    v = ob.findMedianSortedArrays(nums1=a, nums2=b)
    print(v)
    t1 = time.time()
    print(f'耗时{t1-t0} s')
    v2 = ob.findMedianSortedArrays2(nums1=a, nums2=b)
    print(v2)
    t2 = time.time()
    print(f'耗时{t2 - t1} s')