KMP字符串匹配算法

这两天仔细研究了一下kmp匹配算法，一开始觉得有点绕，后来一步步把序列写到纸上比较，终于算是搞懂了这里面的逻辑，写出来和大家分享一下。

一、kmp算法描述

kmp算法旨在高效地从字符串S中找到子串T的位置。对于这样一个问题，最容易想到的做法便是：遍历S，对于S中的每一个字符，遍历T，并逐个比较S和T中的字符，直到找到完全匹配的位置。这种做法完全没有利用前一次错误匹配中的信息。而kmp算法通过分析子串T的结构，使得在匹配错误之后，不用在S中回溯，也不用再次从T的第一个字符开始比较，从而实现了算法效率的提升。

kmp算法使用一个与T等长度的next数组来表征T的结构信息。对于字符串T：

字符p_j的next[j]值定义为

 

next[j]的意义就是字符p_j之前字符串p₀p₁…p_j-1中，前缀子串恰与后缀子串相等的最大长度。例如：字符串”abcdabcefgh”的next数组即为[-1 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0]。

有了子串T相应的next数组之后，kmp算法首先依然是从首个字符串开始匹配S和T，假设S和T的前j个字符均可匹配，但第j+1个字符不匹配，即，如下图

此时按照kmp算法，只需要将T移动到上图所示的位置，并且从和开始向后匹配即可，其中k=next[j]。后面以此类推，这样便不需要在S串中回溯，也不需要从T串的第一个字符开始匹配，大大提高了算法效率。

这里有两个问题：首先，为何不用比较T中的与S中的？这点比较简单，由T串的next[j]=k的定义即可得出这二者必定相等。第二，为何p₀可以直接移动到p_j-k的位置，而之前的位置都不用比较？这里采用反证法，假设将T中的p₀移动到S中p_j-k-1的位置，如下图

可以判定S中与T中的必定不相等，因为如果相等的话，就可以得出T串中next[j]=k+1，矛盾，所以此位置不需要比较就可以判定不相等。以此类推，p_j-k之前的位置都不需要比较。

C语言的kmp算法代码如下：（其中get_next函数后面描述）

int kmp_index(char* S, char* T)
{
    int T_len = strlen(T);
    int* next = (int *)malloc(T_len * sizeof(int));
    get_next(T, next);
    int i = 0, j = 0;
    while (S[i] != '\0') {
        if (S[i] == T[j] || j == -1) {
            if (j == T_len - 1) { return i-j; }
            ++i;  ++j;
        } else {
            j = next[j];
        }
    }
    return -1;
}

二、计算next数组

上面我们知道，kmp算法的关键在于计算T串的next数组的值，这里我们采用递推的方法，假设已知next[j]=k，如何求next[j+1]呢？

由next[j]=k可知：T串中有p₀p₁…p_k-1 = p_j-k…p_j-1。接下来看p_k与p_j：

（1）若p_k=p_j，那么就有p₀p₁…p_k-1p_k= p_j-k…p_j-1p_j  也就是next[j+1] = next[j]+1=k+1

（2）如果p_k不等于p_j，采用回溯的方法：

此时我们需要找一个k₁，使得，这样即可说明next[j+1]=k₁。但是如何找到这样一个k₁呢？这就是回溯的关键。

如果，则必有

而由next[j] = k >= k₁可知：

取红色方框的部分，并与上面大括号的方程联立，可以得到：

上面的式子表明：k₁=next[k]，这就是回溯表达式，检查k₁对应的字符与p_j是否相等，若相等则next[j+1]=k₁, 否则接着按照回溯表达式回溯，直到next[k]=-1为止，也就是回溯到T串的第一个字符。

按照上面的逻辑，可用C语言描述get_next函数如下：

void get_next(char* T, int* next)
{
    next[0] = -1;
    int j = 0;
    int k;
    while(T[j] != '\0') {
        k = next[j];
        while (T[j] != T[k] && k != -1) {  // 若不相等，回溯找k1,直到相等或到达第一个为止
            k = next[k];
        }
        next[j+1] = k+1;
        j++;
    }
}