关于大数除法

最近在九度oj上看了几个关于大数的问题，特意在这里总结一番。

要知道我们要将一个1000多位的十进制数转换为二进制数，是没有哪个类型能装得下的，所以在这里我们的手动模拟辗转相除法。实现将一个很长的十进制数字符串转换成二进制的字符数组。

首先我们来看看这些int，long等等的取值范围，明白它们到底可以存多大，我们才能放心到底什么时候可以用，什么时候不可以用。

 

数据类型名称	字节数	别名	取值范围
int	*	signed,signed int	由操作系统决定，即与操作系统的＂字长＂有关
unsigned int	*	unsigned	由操作系统决定，即与操作系统的＂字长＂有关
__int8	1	char,signed char	–128 到 127
__int16	2	short,short int,signed short int	–32,768 到 32,767
__int32	4	signed,signed int	–2,147,483,648 到 2,147,483,647
__int64	8	无	–9,223,372,036,854,775,808 到 9,223,372,036,854,775,807
bool	1	无	false 或 true
char	1	signed char	–128 到 127
unsigned char	1	无	0 到 255
short	2	short int,signed short int	–32,768 到 32,767
unsigned short	2	unsigned short int	0 到 65,535
long	4	long int,signed long int	–2,147,483,648 到 2,147,483,647
long long	8	none (but equivalent to __int64)	–9,223,372,036,854,775,808 到 9,223,372,036,854,775,807
unsigned long	4	unsigned long int	0 到 4,294,967,295
enum	*	无	由操作系统决定，即与操作系统的＂字长＂有关
float	4	无	3.4E +/- 38 (7 digits)
double	8	无	1.7E +/- 308 (15 digits)
long double	8	无	1.7E +/- 308 (15 digits)
wchar_t	2	__wchar_t	0 到 65,535

 

 

 

类型标识符	类型说明	长度 （字节）	范围	备注
char	字符型	1	-128 ~ 127	-27 ~ (27 -1)
unsigned char	无符字符型	1	0 ~ 255	0 ~ (28 -1)
short int	短整型	2	-32768 ~ 32767	2-15 ~ (215 - 1)
unsigned short int	无符短整型	2	0 ~ 65535	0 ~ (216 - 1)
int	整型	4	-2147483648 ~ 2147483647	-231 ~ (231 - 1)
unsigned int	无符整型	4	0 ~ 4294967295	0 ~ (232-1)
float	实型（单精度）	4	1.18*10-38 ~ 3.40*1038	7位有效位
double	实型（双精度）	8	2.23*10-308 ~ 1.79*10308	15位有效位
long double	实型（长双精度）	10	3.37*10-4932 ~ 1.18*104932	19位有效位

 

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具体的转换思想（转载）：在数据结构课关于栈的这一章中，我们都学过用“模2取余法”来将一个10进制数转换为一个二进制数，进而可以推广到“模n取余法”，经其转换为n进制（n任意指定）。

确实，这是一个很基础的题目，可你是否想过如果这个10进制数是一个大数（其位数可能上千位，此时用一般数据类型肯定是会溢出的），那么这个问题又如何来求解呢？

当然，也许你会说很简单嘛，自己写一个大数类（当然至少要写一个大数除法才行），或者你用的是Java这种现代化语言，就更轻松了，直接用BigInteger这样的大数类就可以来表示一个大数，进而用书上教的方法来实现。

但是，真的需要用到大数类吗？事实上，“杀鸡焉用牛刀“，我们在纸上模拟一番上述运算后就可以发现，只要做一些小小的改进，就可以在不使用大数的情况下，也可以通过“模n

取余”的原理来实现大数的进制转换的。（当然，整体的思想仍然是“模n取余”原理！！！）。

举个简单的例子，就比如说把10进制数12转换为2进制形式，书上的方法可以用下图来表示

按照 “先余为低位，后余为高位“这条铁律，其结果为1100.

这是书上教我们的常规思路（可惜按这个的话，大数是没法考虑的，因为假如这里不是12，而是一个1000位的大数，由于是是对大数的整体进行取余运算，不使用大数类及其

除法操作，又如何得以进行呢？），可我们的目的是不使用大数类，那么现在我们就来换一个视角来看这个问题，12是一个十位数，十位上是1，个位上是2，按照我们正常的

思维来看，这个计算应该是下面这样的：

那么我们发现在第一轮运算时，十位上的1作为被除数，2作为除数，得到的商是0，余数是1(可以断言只考虑当前这一个数位的计算，余数或是0，或是1，若是1的话，则进

下一数位（这里即对个位进行运算）时，要用1乘上进制（这里是10）再加上下一个数位上的值（这里是2）)，即得到运算进入个位时被除数是12，除数是2，得到的商是6，

数是0。第一轮运算的结果是商是06，余数是0.

进入第二轮运算，则上一轮的商6（这里首先要去掉前面多余的0）变成本轮的被除数，如此下去，即可得到每轮的余数。

推广开来，如果被除数是一个1000位的大数，例如“12343435154324123……342314324343”

那么我们照样可以从第一个数位开始逐位考虑，比如第一位是1（作为被除数），2是除数，得到的商是0，余数是1，然后是第二个数位2，由于上一位留下了余数1，则此时被

除数应该是1*10+2 = 12,所以得到的商是6，余数是0，即运算到此时的商是06，然后是第三个数位3，由于上一个数位留下的余数是0，所以此时被除数就是3，。。。如此下去

就完成第一轮的运算，这一轮完毕后，需要把得到的商变成下一轮的被除数，继续上述的运算，直到被除数为0才停止。

 

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/*题目1138：进制转换
题目描述：
将一个长度最多为30位数字的十进制非负整数转换为二进制数输出。
*/
#include "stdafx.h"
#pragma warning(disable:4996)
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
char binvec[1001];


void tenToBin(string str)  
{  
    int j=0;
    int sum=1;
    int len=str.size();

    while (sum)
    {
        sum=0;
        for (int i=0;i<len;++i)
        {
            int temp=(str[i]-'0')/2;
            sum+=temp;
            if (i==len-1)
            {
                binvec[j++]=(str[i]-'0')%2+'0';
            }else
            {
                str[i+1]=str[i+1]+(str[i]-'0')%2*10;//算出下一个被除数
            }
            //记录该次得出的商
            str[i]=temp+'0';
        }
    }
    

} 
void resout()
{
    //逆序
    int len1=strlen(binvec);
    for (int i=0,j=len1-1;i<len1/2;++i,--j)
    {
        char temp=binvec[j];
        binvec[j]=binvec[i];
        binvec[i]=temp;
    }
    cout<<binvec<<endl;
}
int main()
{
    string str;
    while(cin>>str)
    {
        memset(binvec,'\0',sizeof(binvec));
        tenToBin(str);
        resout();
    }
    return 0;
}