【数学相关】概率论的微积分基础

摘要

本篇意在为高数基础薄弱的同学讲解概率论中需要的微积分等高等数学基础知识。

将以下的知识和推导证明例题掌握，应对各种变式都不会有什么问题了。实际做题时，尽量将结论记住，看到常见分布如指数、泊松分布的变式，合理提出常数，直接应用结论，可以简化计算。

方便起见，其中部分题解以手写版结果展示。

使用教材：《概率论与数理统计》（第四版）浙江大学 盛骤等。

二项式定理

核心公式

• 其中(n,k)=

例：二项分布概率求和

证明二项分布概率和为1.

注：

• 二项分布从头到尾求和可以用二项式定理得出。那么如果需要求前x项（或值小于某一部分）的和呢？这时我们就应当联想到第五章的棣莫弗-拉普拉斯定理，将二项分布近似为标准正态分布。
• 那么具体求二项分布某一项的值呢？由第二章提到的泊松定理可知：
  

其中λ=np

幂级数和函数

幂级数求和常用公式

原理均为泰勒展开，不理解泰勒展开的同学可以直接记公式。

等比级数求和

核心公式

即等比数列求和公式。

实际上，等比级数的求和公式多种多样，形如这样：

而实际应用中，∑求和的第一项、最后一项，未知参数的指数变化多端，故使用等比数列求和，根据实际情况找出第一项、最后一项、公比较为方便。

例：几何分布函数的分布

解答：

等比级数/阶乘求和（泊松分布）

核心公式

例：泊松分布概率和

观察泊松分布的分布律可以发现，\(e^{-λ}\)为常数可以提出来，另一部分式子求和即\(e^λ\)，二者相乘结果为1.

幂级数的可积性与可导性

核心公式

• 可导性：

• 可积性：

例一：泊松分布求期望

这里从k=1开始的原因是k=0，kp=0.

接下来我们就可以看出k=1且从k-1开始，所以我们应将分母λ的指数也变成k-1，即提出λ。

例二：泊松分布求方差

要求D(X)，先求E(X^2)。

核心是凑成两个不同的幂级数和。

定积分

例一：指数分布求分布函数（简单一重积分）

例二：指数分布求期望（复合函数分部积分法）

例三：标准正态分布求概率和（极坐标下二重积分间接求）

综合例题

例：二项式定理+幂级数求和

此处仅给出第一问解答：