【题解】哈密顿路径

北京高考压轴。

OI-Wiki。

牛到我了。教练刚讲的：半哈密顿图的性质：\(G = <V, E>\)，对于 \(V\) 的任意非空子集 \(V_1\)，都满足 \(p(G - V_1) \le |V|+1\)。\(p(x)\) 为 \(x\) 的联通分支数。

刚开始感觉很抽象，后来看了这道题才发现就是在哈密顿路径上拆 \(|V|\) 个点出来，剩下来的连通块数量至多为 \(|V|+1\)。

关于最后一题的解答：

对于哈密顿的算法是 NP-Complete 的，但是特殊图还是有特殊做法的。
对于每个二元组抽象为 \(8 \times 8\) 平面上的点，首先将点与下一个点之间连边，证明所有点所连起来的这张图是半哈密顿图。
对于每个点 \((x_i, y_i)\) 根据 \(x_i+y_i\) 赋予奇偶性（T2解法），每走一步奇偶性都会改变。
红奇、红偶、蓝奇、蓝偶各 \(16\) 个。

法1：染色法。

根据 T2 的提示，将 \(x_i = 1,2,7,8\) 的点染为红色，\(x_i = 3,4,5,6\) 的点染为蓝色。
发现红色点下一步一定到蓝色，蓝色下一步走到到蓝色和红色。

假设蓝色只能走到红色，那么红色点/蓝色点的奇偶性就不会改变了，肯定有点不会走到，故肯定有蓝色点到蓝色点。

若有两个以上的蓝色点到蓝色点，那么经过蓝色点的数目就会多于红色点，故蓝色到蓝色有且只有一次，在第 \(32\) 步。

同样的，按照 \(y_i\) 进行如上染色，我们同样能得到第 \(32\) 步为中间的同色到同色，这个区块与上面蓝色区块的交集：\(x_i \in [3, 6], y_i \in [3, 6]\)，即要在这里面走一步，显然无法做到。故证伪。

法2：分割法

对于 \(x_i = 4,5\) 的点删去，我们发现 \(x_i = 1, 8\) 的所有点都没法连出任何边，即有 \(16\) 个点被孤立了，根据最前面的性质结论，\(x_i = 2,3,6,7\) 的所有点都是联通的，即需要是一个哈密顿通路。

同样对 \(y_i = 4,5\) 的剩下 \(8\) 个点进行删去，进而 \((2,1/8),(3,1/8),(6,1/8),(7,1/8)\)，\((2,2),(2,7),(7,2),(7,7)\) 被孤立，说明孤立点至少有 \(12\) 个，但是我们刚刚才删了 \(8\) 个！故证伪。