基础物理实验：不确定度

是谁开学第一课就听不懂。

定义

不确定度：假设不确定度为 \(U_x\)，可以把测量值写为 \(\overline{x}\pm U_x\)

置信水平：在不确定度范围内的概率，如果是在面积为 \(1\) 的分布图像上，就是这个范围的数据占的面积。

A 类不确定度：基于统计方法产生的

B 类不确定度：不基于统计，比如测量时本身误差

B 类

B 类不确定度

• 例：尺子

仪器允差：\(u_1=\triangle=0.1~cm\)（仪器的最小刻度）

估读误差：\(u_2\approx\frac{\triangle}{3}=0.03~cm\)（一般除以三，\(u_2\) 通常在下一步被忽略，但是过程要写）

\[u=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\approx\triangle \]

• 例：游标卡尺

仪器允差：\(u_1=\triangle=0.02 ~mm\)（仪器的最小刻度）

仪器示数的离散特征：\(u_2=0.01~mm\)（因为游标卡尺没有估读所以允差均匀分布）

\[u=\sqrt{u_1^2+0\times u_2^2}=\triangle \]

B 类标准不确定度

引入了置信系数 \(C\)。

\[U_B=\frac{\triangle}{C} \]

（三角分布 \(C=\sqrt 6\)，均匀分布 \(C=\sqrt 3\)，正态分布 \(C=3\)）

因为前面的 \(\triangle\) 最多称得上一个误差范围，没有置信水平一说，除以置信系数可以得到一个真正标准的不确定度，之后带有置信水平的不确定度都可以从标准不确定度扩展。

影响不确定度的因素 \(u_1,u_2\) 等可能有不同的分布类型，此时就要这么计算：

\[u_B=\sqrt{\left(\frac{u_1}{C_1}\right)^2+\left(\frac{u_2}{C_2}\right)^2} \]

B 类展伸不确定度

引入了包含因子 \(k_P\)。

\[u_P=k_PU_B=k_P\times\frac{\triangle}{C} \]

乘完之后它就成为了一个有置信水平的不确定度，不同置信水平 \(P\) 对应的 \(k_P\) 如下：

分布类型	\(P\)	0.68	0.90	0.95	0.99
三角分布	\(k_P\)	1.06	1.67	1.90	2.20
均匀分布	\(k_P\)	1.18	1.56	1.65	1.71
正态分布	\(k_P\)	1.00	1.65	1.96	2.58

（理论上 \(k_P\) 也可以自行算出）

A 类

A 类不确定度

先假装它是正态分布

用平均值估计期望值：\(\overline\varepsilon=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\varepsilon}{n}\)

用实验标准差估计标准差：\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\varepsilon_i-\overline\varepsilon)^2}{n-1}}\)（为什么要除以 \(n-1\) 呢因为据说这样比较准）

A 类标准不确定度

\[u_A=\frac{\sigma}{\sqrt n} \]

A 类展伸不确定度

同理 \(u_P=t_Pu_A\)

合成不确定度

合成标准不确定度：\(u_C=\sqrt{u_A^2+u_B^2}\)

合成展伸不确定度：\(u_P=\sqrt{(t_Pu_A)^2+(k_Pu_B)^2}\)

不确定度的传递

如果你测量的东西需要两个数值运算，两个数值有分别的不确定度。