2018牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）B Symmetric Matrix（思维+数列递推）

题意

给出一个矩阵，矩阵每行的和必须为2，且是一个主对称矩阵。问你大小为n的这样的合法矩阵有多少个。

分析

作者：美食不可负064
链接：https://www.nowcoder.com/discuss/87226?type=101&order=0&pos=1&page=1
来源：牛客网

题目给出的合法矩阵是一个类似与邻接矩阵的样式。 所以应该往这方面去考虑。
每行之和等于2 , 代表每个点都连有两条边，可以有重边 不能有自环。
这说明 每个点属于且仅属于一个环。
因为输入只有一个n
应该要往dp递推的方向上去想。

现在开始找递推式。
定义dp[n]表示n个点构成的合法图的方案数。
思考每加入一个新球，如何从已知状态转移。
考虑从前面的n-1个球中选取一些球和新球组成一个环。
特殊考虑只取一个旧球的情况，
这种情况下这个旧球有n-1种方案 剩下的n-2个球组成的合法方案数已经求出。
所以这种情况下 方案数为(n-1)f(n-2)
推广到一般情况
当我们取k个旧球，剩下的球与新球组成环时，旧球的取法有C(n-1,k) ，剩下的旧球与新球组成环的方案数有(n-1-k)！种
但是考虑对称性 需要除以2。 又考虑到只取一个球的时候不需要考虑对称性 ，所以把这种情况单独摘出来考虑。
最后得到 dp[n]的递推式就是
dp[n] = (n-1) dp[n-2] + sigma(x:2->n-3)((n-1)!/(2*x!)dp[x])
但是这个东西有一个讨厌的sigma 我们可以通过相减的方法来消除这个sigma。

 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#define rep(i,e) for(int i=0;i<(e);i++)
#define rep1(i,e) for(int i=1;i<=(e);i++)
#define repx(i,x,e) for(int i=(x);i<=(e);i++)
#define X first
#define Y second
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define mset(var,val) memset(var,val,sizeof(var))
#define scd(a) scanf("%d",&a)
#define scdd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define scddd(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define pd(a) printf("%d\n",a)
#define scl(a) scanf("%lld",&a)
#define scll(a,b) scanf("%lld%lld",&a,&b)
#define sclll(a,b,c) scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
#define lc idx<<1
#define rc idx<<1|1
#define rson mid+1,r,rc
#define lson l,mid,lc
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void test(T a){cout<<a<<endl;}
template <class T,class T2>
void test(T a,T2 b){cout<<a<<" "<<b<<endl;}
template <class T,class T2,class T3>
void test(T a,T2 b,T3 c){cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;}
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
const ll mod = 1e9+7;
int T;
void testcase(){
    printf("Case %d: ",++T);
}
const int MAXN = 1e6+10;
const int MAXM = 30;

ll dp[MAXN];

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif // LOCAL
    ll n,m;
    dp[1]=0;
    dp[2]=dp[3]=1;
    while(cin>>n>>m){
        for(ll i=4;i<=n;i++){
            dp[i]=((i-1)*dp[i-1]%m + (i-1)*dp[i-2]%m+m-(i-1)*(i-2)/2%m*dp[i-3]%m)%m;
        }
        cout<<dp[n]<<endl;
    }
    return 0;
}