UESTC - 1167 一句话题意

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请问从n*n的正方形左下角走到右上角且不越过对角线的情况总数模m的结果~

 

分析：

　　还记得高中的组合数学吗？

　　我是不记得了，导致卡了很久。首先看没有限制的情况，即n*n的方格从左下角到右上角有多少条路径（每次只能向上或向右）。无论怎么走，总步数一定为n+n=2n，只要决定了向右走的位置，向上走的路线就自然出来了，那么就是2n个步数里选择n个向右的步数，所以答案为C(2n,n)。现在不允许越过对角线，那么我们可以看作有至少一条向右的步数位于对角线的一侧，所以我们能够选择的向右的路线就只剩n-1个了，即此情况下违规的数目为C(2n,n-1)。于是，答案为C(2n,n)-C(2n,n-1)。

　　公式是列出来了，可这里还有个大组合数取模的问题。这样就需要Lucas定理：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p（递归操作）。p一定得是素数，且不大于10⁵。计算组合数时，可以利用p为素数的性质，C(n,m) mod p=n! / (m!(n-m)!)mod p，显然是除法求模，根据费马小定理，已知(a, p) = 1，则 a^p-1 ≡ 1 (mod p),  所以 a*a^p-2 ≡ 1 (mod p），也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^p-2 。

　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL p;
LL q_mod(LL a,LL b){
    LL res = 1;
    while(b>0){
        if(b&1) res = (res*a)%p;
        a = (a*a)%p;
        b >>= 1;
    }
    return res%p;
}
LL Comb(LL n,LL m){
    LL res1 = 1,res2 = 1;
    for(int i=m;i>=2;i--){
        res1 = (res1*i)%p;
    }
    for(int i=n;i>=n-m+1;i--){
        res2 = (res2*i)%p;
    }
    return (res2*q_mod(res1,p-2))%p;
}



LL lucas(LL n,LL m){
    if(m==0) return 1;
    return (Comb(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p))%p;
}

int main(){
    int t;
    LL n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        cin>>n>>p;
        cout<<(lucas(2*n,n)-lucas(2*n,n-1)+p)%p<<endl;
    }

    return 0;
}

 

 

　　

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