Computer Systems: A Programmer's 第二章信息的表示和处理 总结

无符号整数编码 B2Uw

B2U4([0001]) = 0*2^3+0*2^2+0*2^1+1*2^0 = 1

B2U4([0101]) = 0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0 = 5

B2U4([1011]) = 1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0 = 11

B2U4([1111]) = 1*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0 = 15

 

 

补码编码 B2Tw  最高有效位(X(w-1) )为符号位  

B2T4([0001]) = 0*2^3+0*2^2+0*2^1+1*2^0 = 1

B2T4([0101]) = 0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0 = 5

B2T4([1011]) = -1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0 = -5

B2T4([1111]) = -1*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0 = -1

 

反码函数B2Ow

原码函数B2Sw  

 

UMAXw 无符号 w 最大表示  2^w  -1

TMINw  有符号 w 最小值  -2^(w-1)

TMAXw 有符号 w 最大值  2^(w-1)-1

 

有符号数和无符号数之间的转换(C语言中 无符号和无符号的运算 保持位不变)

从无符号数到补码的转换    U2T(u) "定义1、u-2^w  , u ≥ 2^(w-1)   2、u , u<2^(w-1)"   把大于2^(w-1)  -1  的数字转换为负值 

从补码到无符号数的转换    函数T2U(x) "定义1、x+2^w  ,  x<0     2、x , x ≥  0"  将负数转换为大的正数

扩展一个数字的位表示

B2Tw+k([Xw-1,...,Xw-1,Xw-2,Xw-3,..X0]) = B2Tw([Xw-1,Xw-2,Xw-3,..X0])

B2T5[11101] = B2T3[101]   这就是扩展位等式        无符号扩展前面添加0   有符号扩展前面添加第一位数字 

 

 

截断数字  k 代表要截断到第几位  例如  4位截断到3位   k = 3

无符号数截断       ->  B2Uk([ Xk-1,Xk-2,Xk-3,..X0]) = B2Uw([Xw-1,Xw-2,Xw-3,..X0]) mod 2^k  

补码数截断          ->   B2Tk ([Xk-1,Xk-2,Xk-3,..X0]) = U2Tk( B2Uw([Xw-1,Xw-2,Xw-3,..X0]) mod 2^k )

 

 

 

无符号加法

无符号加法逆元

 

补码加法

   

 

补码的非

      

补码非计算，另外几种聪明的方法

 

1、计算一个位级表示的值的补码非有几种聪明的方法。这些技术很有用（例如当你在调试程序的时候遇到值0xfffffffa），同时它们也能够让你更了解补码表示的本质。

行位级补码非的第一种方法是对每一位求补，再对结果加1。在C语言中，我们可以确定，对于任意整数值x，计算表达式-x和～x + 1得到的结果完全一样。

下面是一些字长为4的示例：

从前面的例子我们知道0xf的补是0x0，而0xa的补是0x5，因而0xfffffffa是-6的补码表示。

 

2、 x ≠ 0 ， x的二进制格式，取最右边1的位置为k，我们对k左边的所有位取反，k右边的保持不变

例 我们用一些 4位数字来说明这个方法，这里用斜体来突出最右边的模式1,0，。。。。，0：

 

 

 

 

无符号乘法

              （2-16）

例： 5 = [0101] , 10 = [1010];   w=4位

       5 * 10 = 50 mod 2^4 = 2

 

50的二进制[110010]截取到4位 就等于[0010]

 

 

 

补码乘法

            （2-17）

举例说明，对于每一对位级运算数，我们执行无符号和补码乘法，得到6位的乘积，然后再把这些乘积截断到3位。

无符号的截断后的乘积总是等于x · y mod 8。

虽然无符号和补码两种乘法乘积的6位表示不同，但是截断后的乘积的位级表示都相同。

 

 

 

 

二进制小数

 

十进制小数→→→→→二进制小数 方法：“乘2取整”

对十进制小数乘2得到的整数部分和小数部分整数部分直接计算为二进制（bcd，除余法都行）,剩下的小数部分用2乘小数部分(之前乘后得到新的小数部分),又得到整数和小数部分.

如此不断重复,直到小数部分为0或达到精度要求为止.第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位

 

如:0.25转换为二进制小数

0.25*2=0.5  取整是0

0.5*2=1.0    取整是1

即0.25 转换为 二进制为 0.01 ( 第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位)

 

3.8125转换为二进制小数

先转换整数部分 3 对应二进制代码 11 在转换小数部分

0.8125*2=1.625   取整是1

0.625*2=1.25     取整是1

0.25*2=0.5       取整是0

0.5*2=1.0        取整是1

即0.8125的二进制是0.1101（第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位）组合整数部分得到最终为11.1101

 

 

二进制小数->->->->->十进制小数

按照下图数列可以得出：二进制小数整数部分对应常规转换，小数部分乘.后面位取幂 

整数部分为5

小数部分为 3/4 = 0.75  最后得到结果为  5.75

转换步奏:

1、先计算分数得到位（分母）从“ . ”右边开始数按照2的1次方计算  对应幂分别是 2.4.6.8.....

2、在正常转换为十进制数 也就是 从“ . ”右边开始数按照2的0次方计算  对应幂分别是 1.2.4.6......

3、最后除以 （分母）得到小数位，组合整数位 就是最终结果

 

 

十进制小数→→→→→八进制小数 方法：“乘8取整” 例如： 

0.71875）10 =（0.56）8

0.71875*8=5.75  取整5

0.75*8=6.0      取整6

即0.56

   

 

十进制小数→→→→→十六进制小数方法：“乘16取整”例如： 

(0.142578125)10=(0.248)16

0.142578125*16=2.28125  取整2

0.28125*16=4.5          取整4

0.5*16=8.0              取整8

即0.248