图论三

0、目录

无向图割顶和桥、无向图双连通分量、有向图强连通分量、TwoSAT、并查集、拓扑排序、黑白染色、欧拉图、表达式树
（参考自白皮）

1、无向图割顶和桥

int pre[maxn],low[maxn],iscut[maxn],dfs_clock;
//int isbrige[maxm];

int dfs(int u,int fa){
int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
int child=0;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(!pre[v]){
child++;
int lowv=dfs(v,u);
lowu=min(lowu,lowv);
if(lowv>=pre[u]){
iscut[u]=true;
}
// if(lowv>pre[u]){
// isbridge[e]=true;
// }
}else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa){
lowu=min(lowu,pre[v]);
}
}
if(fa<0&&child==1) iscut[u]=0;
low[u]=lowu;
return lowu;
}

2、无向图双连通分量

2.1、点双联通

int pre[maxn],iscut[maxn],bccno[maxn],dfs_clock,bcc_cnt;
vector G[maxn],bcc[maxn];

stack S;

int dfs(int u,int fa){
int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
int child=0;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
Edge& e=Edge(u,v);
if(!pre[v]){
S.push(e);
child++;
int lowv=dfs(v,u);
lowu=min(lowu,lowv);
if(lowv>=pre[u]){
iscut[u]=true;
bcc_cnt++; bcc[bcc_cnt].clear();
for(;😉{
Edge& x=S.top(); S.pop();
if(bccno[x.u]!=bcc_cnt){
bcc[bcc_cnt].push_back(x.u);
bccno[x.u]=bcc_cnt;
}
if(bccno[x.v]!=bcc_cnt){
bcc[bcc_cnt].push_back(x.v);
bccno[x.v]=bcc_cnt;
}
if(x.uu&&x.vv) break;
}
}
}else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa){
S..push(e);
lowu=min(lowu,pre[v]);
}
}
if(fa<0&&child==1) iscut[u]=0;
return lowu;
}

void find_bcc(int n){
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(iscut,0,sizeof(iscut));
memset(bccno,0,sizeof(bccno));
dfs_clock=bcc_cnt=0;
for(int i=0;i<n;i++){
if(!pre[i]) dfs(i,-1);
}
}

2.2、边双连通

2.2.1、把桥都删了，剩下的连通分量就是边双连通

2.2.2、用有向图强连通分量来处理

3、有向图强连通分量

3.1、两次dfs

vector G[maxn],G2[maxn];
vector S;
int vis[maxn],sccno[maxn],scc_cnt;

void dfs1(int u){
if(vis[u]) return ;
vis[u]=1;
for(int i=0;i<G[u].size();i++) dfs1(G[u][i]);
S.push_back(u);
}

void dfs2(int u){
if(sccno[u]) return;
sccno[u]=scc_cnt;
for(int i=0;i<G2[u].size();i++) dfs2(G2[u][i]);
}

void find_scc(int n){
scc_cnt=0;
S.clear();
memset(sccno,0,sizeof(sccno));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0;i<n;i++) dfs1(i);
for(int i=n-1;i>=0;i--)
if(!sccno[S[i]]){ scc_cnt++; dfs2(S[i]); }
}

3.2、tarjan

vector G[maxn];
int pre[maxn],lowlink[maxn],sccno[maxn],dfs_clock,scc_cnt;
stack S;

void dfs(int u){
pre[u]=lowlink[u]=++dfs_clock;
S.push(u);
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(!pre[v]){
dfs(v);
lowlink[u]=min(lowlink[u],lowlink[v]);
}else if(!sccno[v]){
lowlink[u]=min(lowlink[u],pre[v]);
}
}
if(lowlink[u]pre[u]){
scc_cnt++;
for(;😉{
int x=S.top(); S.pop();
sccno[x]=scc_cnt;
if(xu) break;
}
}
}

void find_scc(int n){
dfs_clock=scc_cnt=0;
memset(sccno,0,sizeof(sccno));
memset(pre,0,sizeof(pre));
for(int i=0;i<n;i++) if(!pre[i]) dfs(i);
}

4、TowSAT

struct TwoSAT{
int n;
vector G[maxn2];
bool mark[maxn2];
int S[maxn*2],c;

bool dfs(int x){
if(mark[x^1]) return false;
if(mark[x]) return true;
mark[x]=true;
S[c++]=x;
for(int i=0;i<G[x].size();i++)
if(!dfs(G[x][i])) return false;
return true;
}

void init(int n){
this->n=n;
for(int i=0;i<n*2;i++) G[i].clear();
memset(mark,0,sizeof(mark));
}

void add_clause(int x,int xval,int y,int yval){
x=x2+xval;
y=y2+yval;
G[x^1].push_back(y);
G[y^1].push_back(x);
}

bool solve(){
for(int i=0;i<n*2;i+=2){
if(!mark[i]&&!mark[i+1]){
c=0;
if(!dfs(i)){
while(c>0) mark[S[--c]]=false;
if(!dfs(i+1)) return false;
}
}
}
return true;
}
}

5、并查集

int fa[maxn];

int find(int x){
return fa[x]=fa[x]==x?x:find(fa[x]);
}

int Union(int u,int v){
int pu=find(u);
int pv=find(v);
if(pu!=pv){
fa[pv]=pu;
}
}

6、拓扑排序

queue Q;
for(int i=0;i<n;i++){
if(!ind[i]) Q.push(i);
}

while(!Q.empty()){
int u=Q.front(); Q.pop();
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
ind[v]--;
if(!ind[v]){
Q.push(v);
}
}
}

7、黑白染色

int color[maxn];
bool dfs(int u){
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(color[v]==color[u]) return false;
if(!color[v]){
color[v]=3-color[u];
if(!dfs(v)) return false;
}
}
}

8、欧拉路

8.1、无向图欧拉回路构造

int vis[maxm];
vector path;
void euler(int u){
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int id=G[u][i];
Edge& e=egs[id];
if(!vis[id]){
vis[id]=vis[id^1]=1;
euler(e.v);
path.push_back(e.v);
}
}
}