N次剩余

N次剩余

//【题意】 给定newx,k,m,方程(x^k)%m=newx,求在模m意义下的所有解x
//【限制】 0 <= newx,m,k <= 1.5*10^15; m是素数
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
# define LL __int64
LL mul(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ret=0;
    a%=m;
    while(b){
        if(b&1) ret=(ret+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL quick_pow(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ret=1;
    a%=m;
    while(b){
        if(b&1) ret=mul(ret,a,m);
        a=mul(a,a,m);
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0){ x=1,y=0; return a; }
    LL ret=ext_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
vector<LL> a;
bool g_test(LL g,LL p)
{
    for(LL i=0;i<a.size();i++){
        if(quick_pow(g,(p-1)/a[i],p)==1) return 0;
    }
    return 1;
}
LL pri_root(LL p)
{
    a.clear();
    LL tmp=p-1;
    for(LL i=2;i<=tmp/i;i++){
        if(tmp%i==0){
            a.push_back(i);
            while(tmp%i==0) tmp/=i;
        }
    }
    if(tmp!=1) a.push_back(tmp);
    LL g=1;
    while(true){
        if(g_test(g,p)) return g;
        ++g;
    }
}
const int HASH_MOD=9876543;
LL key[HASH_MOD],val[HASH_MOD];
int head[HASH_MOD],nextt[HASH_MOD];
struct Hash{
    int tot;
    void init()
    {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        tot=0;
    }
    LL insert(LL x,LL y)
    {
        int k=x%HASH_MOD;
        key[tot]=x;
        val[tot]=y;
        nextt[tot]=head[k];
        head[k]=tot++;
    }
    LL find(LL x)
    {
        int k=x%HASH_MOD;
        for(int i=head[k];i!=-1;i=nextt[i]){
            if(key[i]==x) return val[i];
        }
        return -1;
    }
} hs;
//求解模方程a^x=b(mod m),n为素数,无解返回-1
//注意：要求 0 < a < m; 0 <= b < m; 否则按照题意自己转化
//复杂度 O(sqrt(m))
LL log_mod(LL a,LL b,LL m)
{
    hs.init();
    LL s=ceil(sqrt(m+0.5));
    LL cur=1;
    for(int i=0;i<s;i++){
        if(hs.find(cur)==-1) hs.insert(cur,i); //记得先判重，再插入
        cur=cur*a%m;
    }
    LL v=quick_pow(a,(m-s-1+m)%m,m);
    for(int i=0;i<s;i++){
        LL tmp=hs.find(b);
        if(tmp!=-1) return s*i+tmp;
        b=b*v%m;
    }
    return -1;
}
//N次剩余
//【任务】 给定N,a,p,求出(x^N)%p=a 在模p意义下所有的解x
//【说明】 令g为p的原根,因为p为素数,所以phi(p)=p-1
//有原根的性质得：
//      如果g为p的原根,则:g^i mod p != g^j mod p (p为素数), 其中 i != j 且 i,j介于 1~(p-1)之间
//      所以，可以设g^y=x,g^t=a,则有: g^(y*N)%p=g^t
//      又由原根的性质:  g^(y*N)%p=g^t -> (y*N)%(p-1)=t (此方程可以由扩展欧几里得解)
//      另外g^t=a可以由离散对数求出
vector<LL> residue(LL p,LL N,LL a)
{
    LL g=pri_root(p);
    g%=p;
    LL m=log_mod(g,a,p);
    vector<LL> ret;
    if(a==0){
        ret.push_back(0);
        return ret;
    }
    if(m==-1) return ret;
    LL A=N,B=p-1,C=m,x,y;
    LL d=ext_gcd(A,B,x,y);
    if(C%d!=0) return ret;
    x=x*(C/d)%B;
    LL delta=B/d;
    for(int i=0;i<d;i++){
        x=((x+delta)%B+B)%B;
        ret.push_back(quick_pow(g,x,p));
    }
    sort(ret.begin(),ret.end());
    ret.erase(unique(ret.begin(),ret.end()),ret.end());
    //unique返回参数数组中所有不同的值，并按照从小到大排序
    return ret;
}
int main()
{
    int cas=0;
    LL k,m,newx;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d",&k,&m,&newx)){
        vector<LL> ans;
        ans=residue(m,k,newx);
        printf("case%d:\n",++cas);
        if(ans.size()==0) puts("-1");
        for(int i=0;i<ans.size();i++){
            printf("%I64d\n",ans[i]);
        }
    }
    return 0;
}
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