无源无汇，有源有汇上下界网络流

有上下界网络流：

　　一个管道，有流量限制，有一个上界以及一个下界，必须保证满足，至少为下界，之多为上界。

　　在普通的网络流中，下界是0，上界是INF，所以普通网络也是一种有上下界的网络流，所以我们

　　应当转换一下，使得该问题变得简单。

 

无源无汇有上下界网络流

　　很多人会问，无源无汇网络流应该怎么流，它是一个循环流，

　　

　　类似于这个，那么如何寻找可行解呢？

　　搬一下大佬题解：

 每条边必须有一个流量下界，这非常麻烦，考虑将流量下界单独出去，成为一个新图，使得边的流量下界为0，流量上界为 Ci-Bi，变成了一个普通的网络流问题（每条边只有流量上界，即容量）。称每条边的流量下界为必须流，每条边的流量减去流量下界为自由流，由于边的流量范围的限制，有些情况下网络流图可能无法流通。比如下图中国 1-->2 的边上的流量上界为3，而2-->3的边上的流量下界为4，那么网络就无法流动。网络中存在满足边的上下界要求的网络流，称为可行流。 
 
    求解可行流 
    设每个点所有流入量的流量下界之和IBi和所有流出量下界之和OBi，然后虚拟一个源点SS和一个汇点TT，使得原图中每个点都有OBi的流量流入SS，同时有IBi的流量从TT流入，这样，就将每个点的流量下界独立出来。这样，每条边的必须流就被SS和TT管理。 
    以SS，TT分别为新图的源点和汇点，寻找网络最大流，如果最大流使得从SS出发的每条路径都被填满（那么到达TT的每条路径也必然被填满），那么说明对于原图中的每个点，都满足最低流入量的流流入和最低流出量的流流出，从而存在满足原图流量下界的可行流。 
如下图： 
 
原图中边上的数字表示边的流量范围。

 
   加SS和TT之后的新图，从每个点的引出容量为最低流出量之和OBi的路径指向汇点TT，并从SS引入容量为最低流入量之和IBi的路径指向该点。 同时，每条边的最低流量变为0，容量变为Ci-Bi。 
    然后，从SS到TT寻找网络最大流。图中所示，SS-->1-->2-->TT的路径上流量为3，SS-->1-->TT路径上流量为1，SS-->2-->3-->TT路径上的流量为1，SS-->3-->TT路径上流量为3。则最大流为8，且能够使得SS到原图中每个点的边上的流量均满流。因此，原图存在可行流。

 

这个只是用来解决可行解问题的。

有源汇上下界网络流

对于流量有上下界的有源汇网络，原图中存在源点S和汇点T，为了求可行流，先将其转换为无源汇网络。 
    从T-->S引入一条边，其流量上下界为[0, INF]，此时原图变为了无源汇网络，然后按照无源汇网络求解可行流的方法来求解。 

其实思想很简单。

这里求可行解，那么是不是只有S，T是不满足流量平衡的。

而无源汇网络流是所有点都满足流量平衡，然后发现，S流出=T流入。

所以说，连一条T--->S的流，无限流量，即可，然后转化为无源汇上下界网络流来解。