线段树初步

数列区间最大值（线段树）

https://www.acwing.com/problem/content/1272/

线段树跟树状数组十分类似。

树状数组：


线段树：


起始无论是线段树还是树状数组，本质上都是数组，都可以进行区间计算和单点更新。那么这两者有什么区别吗？

1.根据图像我们可以看出，树状数组严格按照2的幂次进行划分，所以有时会出现森林的情况，因此就无法通过某个结点到达所有的结点，而线段树我们可以看到有且只有一个总结点，而且是一个性质很好的树，与二分法的思想一致

2.从图像中我们还能看出在树状数组中，影响树状数组c[i]的是c[i]前面的元素，而影响线段树中tree[k]的是该结点的左右子树，是后面的元素，所以线段树tree[k]的值需要等左右子树构建完成才能确定，而且还要记录tree[k]的控制区间

构建线段树

在之前的分析中可以发现，线段树中的结点至少要记录两个要素：控制的区间以及区间的特征值（创建线段树的目的就是更方便的查找区间的元素），所以至少需要三个变量：区间的范围用两个变量l和r，特征值value，所以要构建一个结构体

struct Node
{
    int l, r;
    int value;
};

以上就是树结点的创建，那么如何创建树呢？

很简单，创建一个Node类型的数组就行了，那么问题来了，创建多大的合适呢？

首先要考虑父结点与左右结点的关系：

​ 为了计算方便，假如父节点是tree[k]，计左结点为tree[k * 2]，右结点为tree[k * 2 + 1].这种排序方式符合完全二叉树的排列，能够很好的节省空间，而且方便找到左右结点

可以发现，假如构建的二叉树刚好填满最后一层，那么开2n个完全足够，但是假如最后一层没有完全填满，假设该树有m层可以计算出

\[2^{m-2}<n<2^{m-1}<2*n \]

所以最后一层所需的空间大于n小于2n，并且前m-1层所需的空间小于2n，为了不溢出，需要4n的空间

所以创建一个4n的Node类型的数组去记录线段树

Node tree[4*N];

现在构建结点k，假如k结点控制的区间为l到r，则有

void build_tree(int l, int r, int k)
{
	tree[K].l = l, tree[K].r = r;
	if(l == r)//叶子结点
	{
		tree[k].value = a[l];//a是原本的数组
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(l, mid, K << 1);
	build(mid + 1, r, k << 1 | 1);
	tree[k].value = {};//{}内是一个操作，得出的结果是这个区间的某个特征值，比如说区间的和，最值等
}

计算某个区间的特征值

假如说要计算区间[l, r]的特征值，来分析一下。

首先，肯定要从树根出发，那么就有区间[l, r]肯定比当前区间小或者相等，然后继续向下遍历此时会出现以下三种情况，设当前结点对应的区间为[L, R]：

1.区间[l, r]完全包含[L, R]，此时就直接返回当前结点的特征值

2.区间[l, r]完全被[L, R]包含:

令mid=(L + R) >> 1；

假如mid >= r,就遍历左结点

假如mid < l，就遍历右结点

否则全部遍历

3.区间[l, r]与[L, R]有交集但不互相包含，同2

void search(int l, int r, int k)
{
	if(tree[k].l >= l && tree[k].r <= r)
	{
		ans = {};//关于关键值的某个操作
		return ;
	}
	int mid = (tree[k].l + tree[k].r) >> 1;
	if(mid >= r)search(l, r, k << 1);
	else(mid < l)search(l, r, k << 1 | 1);
	else
	{
		search(l, r, k << 1);
		search(l, r, k << 1 | 1);
	}
}

至此，线段树的两个最基础的操作就完成了。