树状数组

树状数组是前缀和在数值更新方向的一种进化：

假设给出一个数组a，b是该数组的前缀和，c是该数组的树状数组。

先给出树状数组的图解：

为什么要创建树状数组呢？我们知道，在前缀和b中，如果想要改变a的某一个位置元素的值，会对前缀和数组造成极大的影响，最坏的情况下一个元素的改变会对整个b数组产生影响，更新b数组的时间复杂度为O(n);但是对于树状结构的数组，就会降为O(log(n))的级别。下面展示如何构建树状数组：

可以看到，对于奇数（树状数组一般以1为起始坐标）位置的元素就是对应原数组的元素，对于偶数位置的元素有如下规律：对于位置i来说，假设其可以整除2的k次方却无法整除2的k+1次方，那么c[i] = a[i] + a[i -1] + a[i - 2] + …… + a[i - 2^k + 1]，一共2的k次方个元素，其实这个规律对于奇数也满足。当然，从上图我们可以看出，我们可以利用已经计算出的树状数组去计算后面的树状数组：c[i] = a[i] + c[i - 1] + c[i - 2] + c[i - 4] +……+ c[i - 2^k]。

先给出一个算法：lowbit算法

int lowbit(int x)
{
	return x & -x;
}

这个算法有什么用呢？可以计算出x最大因数K，其中K是2的整数次幂，在上面的递推公式中，我们显然用到了2的一些幂次因此，可以用该算法去计算。

给出计算树状数组c的代码

void creat_c(int pos)
{
	c[pos] = a[pos];
	for(int i = 1; i < lowbit(pos); i += lowbit(i))
		c[pos] += c[pos - i];
}

创建完之后就是使用了，该数组基本用法有两种：

1.单点更新，就是更新a数组的某个值后，可以通过O（log（n））的时间复杂度去更新c数组

2.区间计算，单点更新的目的还是为了去计算区间和

下面给出代码

void point_update(int pos, int value)//pos位置加上value
{
	for(int i = pos; i <= n; i += lowbit(i))
		c[i] += value;
}

int interval_clac(int left, int right)//计算[left，right]之间元素的和
{
	int res = 0;
	for(int i = pos2; i; i -= lowbit(i))
		res += c[i];
	
	for(int i = pos1 - 1; i; i -= lowbit(j))
		res -= c[i];
	
	return res;
}

至此，树状数组的基本操作就结束了。