数值微分（数学）（组合数）

看到题目我们有一个直观的想法，就是它的递推式很像组合数学中的杨辉三角。。。。

这样想的话很容易就能得出式子：

\[f[m](i)=\sum_{j=0}^{i}f(i-j)\times C_{m}^{j}\times (-1)^j \]

举个例子：
\(f[4](3)\)
\(=f[3](3)-f[3](2)\)
\(=f[2](3)-2\times f[2](2)+f[2](1)\)
\(=f[1](3)-3\times f[1](2)+3\times f[1](1)-f[1](0)\)
因为\(f[1](0)\)是0，可以转换为\(f[0](0)\)
所以原式
\(=f[0](3)-4\times f[0](2)+6\times f[0](1)-4\times f[0](0)\)

那么接下来就是求组合数的问题了。

求组合数的方法有很多种，这里借鉴maomao9173 dalao的总结：

• 公式法 （这个复杂度很劣）
• 阶乘逆元求法 适用于多次查询，复杂度预处理O( n+logn )，查询接近O( 1 )，但是模数必须是质数。（100007不是质数）
  （就是先O(n)预处理阶乘，然后算出来最大数的逆元，然后倒推回来。）
• 杨辉三角递推求法 适用于多次密集小范围查询，复杂度预处理O( n^2 )，查询O( 1 )
  （比如说NOIP2016day2t1）
• 费马小定理/exgcd求逆元 单次O( logn )，是最简单的方法，模数必须为质数
• 阶乘分解 适用于模数不为质数的求法。复杂度预处理O( nlogn )，查询O( 1 )

而这个题就是用阶乘分解的方法来做。

\[C_m^j=\frac{m(m-1)...(m-j+1)}{j!} \]

上下分别分解质因数，由于j!中的质因子都不超过n，所以只分解出2到n之间的质因子就可以了。

分解之后分子分母先对分解的因子进行约分，组合数是整数所以约分之后分母必定全部消去，剩下的分子只需要乘法计算。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1050;
const int Mod = 100007;
int n,m;
int dr[N];
int zuhe[N];
int xu[N][N],cxu[N][N],vxu[N];
int jia(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=Mod)
		x-=Mod;
	return x;
}
int jian(int x,int y)
{
	x-=y;
	if(x<0)
		x+=Mod;
	return x;
}
int cheng(int x,int y)
{
	long long z=x;
	z*=y;
	z%=Mod;
	x=z;
	return x;
}
//dalao说把取模题中的加减乘操作都写成函数
//来替代常规的运算可以有效地避免取模出锅 
int main()
{
	//freopen("difer.in","r",stdin);
	//freopen("difer.out","w",stdout);
	int i,j,k;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&dr[i]);
	for(i=1;i<=n && i<=m;i++)
	{
		xu[i][0]=m+1-i; 
		for(j=2;j<=n;j++)
		{
			while(xu[i][0]%j==0)
			{
				xu[i][0]/=j;
				xu[i][j]++;
			}
		}
		//二维上面存储的是质因子为k，数组表示的是其对应的个数 
		xu[i][0]%=Mod;
	}
	//预先处理出[m,m-i+1]其中每个数的质因子（这些在分子上面） 
	for(i=1;i<=n && i<=m;i++)
	{
		cxu[i][0]=i;
		for(j=2;j<=n;j++)
		{
			while(cxu[i][0]%j==0)
			{
				cxu[i][0]/=j;
				cxu[i][j]++;
			}
		}
	}
	//预先处理出[1,i]其中每个数的质因子（这些在分母上） 
	//操作同上 
	zuhe[0]=1;
	for(i=1;i<=n && i<=m;i++)
	{
		zuhe[i]=1;
		for(j=1;j<=i;j++)
			zuhe[i]=cheng(zuhe[i],xu[j][0]);
		for(j=2;j<=n;j++)
			vxu[j]+=xu[i][j]-cxu[i][j];
		//分母分子相消 
		for(j=2;j<=n;j++)
		{
			for(k=1;k<=vxu[j];k++)
				zuhe[i]=cheng(zuhe[i],j);
		}
		if(i&1)
			zuhe[i]=jian(0,zuhe[i]);
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		int res=0;
		for(j=0;j<i && j<=m;j++)
			res=jia(res,cheng(dr[i-j],zuhe[j]));
		//最后把答案累计出来qwq 
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}