ABC280D题解

修改日志

$2022/12/20\text{ }\text{ }9:22$：修改了时间复杂度。

思路

核心算法：二分

一：分解质因数

首先，对输入的 $K$，进行分解质因数，若分解后质数 $p$ 有 $l$ 个，则 $sum_p=l$。

质因数的枚举

显然不能暴力。

但是，对于一个正整数 $K$，只要 $p$ 枚举到 $\sqrt{K}$ 即可，因为如果 $p\bmod K=0(p\gt \sqrt{K})$，那么 $K\div p$ 一定 $\lt \sqrt{K}$，那这一定会在之前除掉了。

所以以只要在 $[1,\lfloor\sqrt{K}\rfloor]$ 内枚举 $p$ 即可

对于每个 $p$，做如下的事情：

while(K2%i==0) K2/=i,sum[i]++;

这里的 $i$ 就是 $p$，$K2$ 的初值是 $K$（由于 $K$ 要做边界）。

最后，如果 $K2\gt 1$，则输出 $K2$，结束程序。（因为这个 $K2$ 一定是质数）

分解质因数代码：

long long K2=k;
for(long long i=2;i<=sqrt(k)+100;i++){
	while(K2%i==0) K2/=i,sum[i]++;
}
if(K2!=1) return !printf("%lld\n",K2);

二：二分答案

Q：为什么能用二分？
A：因为答案满足单调性。
Q：具体点？
A：你自己往下看吧！

因为如果一个正整数 $a$ 满足 $a$ 的阶乘是 $K$ 的倍数，那么 $a+b$ 的阶乘一定也是 $K$ 的倍数，满足单调性，可以二分。

---

定义左边界为 $l$，右边界为 $r$，初值：$l=1,r=K+100$（稍微大一点，其实没必要，因为 $K$ 的阶乘一定是 $K$ 的倍数）。

对于每个 $mid$，用 一 的分解质因数的方法输出数组 $sum2$，在将 $sum2_i$ 和 $sum_i$ 作比较，如果有任意一个 $i$ 使得 $sum_i\gt sum2_i$，就将 $l\gets mid$，否则将 $r\gets mid$。

最后输出 $r$ 即可

时间复杂度：$\Theta(\log_2K\times\sqrt{K})$

代码（语言：c++，仅供参考，不可抄袭）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long k,sum[1001000],l=1,r;
int main(){
	scanf("%lld",&k);
	long long K2=k;
	for(long long i=2;i<=sqrt(k)+100;i++){
		while(K2%i==0) K2/=i,sum[i]++;
	}
	if(K2!=1) return !printf("%lld\n",K2);
	r=k+100;
	while(l<r-1){
		long long mid=l+r>>1,now=mid;
		bool f=0;
		for(long long i=2;i<=sqrt(k)+100;i++){
			long long p=i,s=0;
			while(p<=mid){
				s+=mid/p;
				p*=i;
			}
			if(sum[i]>s){
				f=1;
				break;
			}
		}
		if(f) l=mid;
		else r=mid;
	}
	return !printf("%lld",r);
}