CF1439A2题解

$2023/6/29$：在中文句子后补充了句号。

$2023/7/6$：更改了矩阵的表达方式。

首先，看到要在 $n\times m$ 步内完成，所以平均一步要做好一个点。

其次，不能想到前 $n-2$ 行可以用如下方法解决：

• 设当前位是 $a_{i,j}$，如果 $a_{i,j}=1$，则将 $a_{i,j},a_{i+1,j-1},a_{i+1,j}$ 取反（特别的，当 $j=1$ 时，将 $a_{i,j},a_{i+1,j},a_{i+1,j+1}$ 取反），将操作加入答案。

步数一定是小于等于 $(n-2)\times m$ 的，不会超。

正确性等会证明。

为什么是前 $n-2$ 行，不是 $n-1$ 吗？

因为最后一行不能单独做（第 $n$ 行下面没有行了），所以要让第 $n-1$ 行，第 $n$ 行配合的做。

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接下来就是思考如何做最后两行

自己在草稿纸上画一画，会发现一个 $2\times 2$ 的矩阵无论初始状态是这样的，都可以消除。

所以，我们可以将最后两行分割成 $2\times 2$ 的矩阵，分开来做。

但是，如果 $m$ 是奇数，则会剩下一列，怎么办呢？其实很简单，我们把这一列单独拿出来做。

不妨做第一列，则如果 $a_{n-1,1}$（第 $n-1$ 行第 $1$ 列）为 $1$，将 $a_{n-1,1},a_{n-1,2},a_{n,2}$ 取反，将操作加入答案。

同理可做 $a_{n,1}$。

接下来，就把矩阵分成若干个 $2\times 2$ 的小矩阵，易得到当矩阵为：

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

时所需步数最多，为 $4$，发现也不会超。

---

解法的正确性证明

首先，易得把剩下矩阵分成若干个 $2\times 2$ 的小矩阵是可行的（自己在草稿纸上画一画，步数证明上文也有讲）。

其次，单独做一列也是可行的，因为改变后面的小矩阵仍然可以做。

最后同理，做前 $n-2$ 行时也不会造成什么后果。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,m,ans,a[10010][7];
char c[110][110];
void left_up(int i){
    ans++;
    a[ans][1]=n-1;
    a[ans][2]=i;
    a[ans][3]=n-1;
    a[ans][4]=i+1;
    a[ans][5]=n;
    a[ans][6]=i;
}
void left_down(int i){
    ans++;
    a[ans][1]=n-1;
    a[ans][2]=i;
    a[ans][3]=n;
    a[ans][4]=i;
    a[ans][5]=n;
    a[ans][6]=i+1;
}
void right_up(int i){
    ans++;
    a[ans][1]=n-1;
    a[ans][2]=i;
    a[ans][3]=n-1;
    a[ans][4]=i+1;
    a[ans][5]=n;
    a[ans][6]=i+1;
}
void right_down(int i){
    ans++;
    a[ans][1]=n-1;
    a[ans][2]=i+1;
    a[ans][3]=n;
    a[ans][4]=i;
    a[ans][5]=n;
    a[ans][6]=i+1;
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",c[i]+1);
        for(int i=1;i<=n-2;i++){
            if(c[i][1]=='1'){
                ans++;
                a[ans][1]=i;
                a[ans][2]=1;
                a[ans][3]=i+1;
                a[ans][4]=1;
                a[ans][5]=i+1;
                a[ans][6]=2;
                if(c[i+1][1]=='0') c[i+1][1]='1';
                else c[i+1][1]='0';
                if(c[i+1][2]=='0') c[i+1][2]='1';
                else c[i+1][2]='0';
            }
            for(int j=2;j<=m;j++){
                if(c[i][j]=='1'){
                    ans++;
                    a[ans][1]=i;
                    a[ans][2]=j;
                    a[ans][3]=i+1;
                    a[ans][4]=j;
                    a[ans][5]=i+1;
                    a[ans][6]=j-1;
                    if(c[i+1][j]=='0') c[i+1][j]='1';
                    else c[i+1][j]='0';
                    if(c[i+1][j-1]=='0') c[i+1][j-1]='1';
                    else c[i+1][j-1]='0';
                }
            }
        }
        if(m&1){
            if(c[n-1][1]=='1'){
                ans++;
                a[ans][1]=n-1;
                a[ans][2]=1;
                a[ans][3]=n-1;
                a[ans][4]=2;
                a[ans][5]=n;
                a[ans][6]=2;
                if(c[n-1][2]=='0') c[n-1][2]='1';
                else c[n-1][2]='0';
                if(c[n][2]=='0') c[n][2]='1';
                else c[n][2]='0';
            }
            if(c[n][1]=='1'){
                ans++;
                a[ans][1]=n;
                a[ans][2]=1;
                a[ans][3]=n-1;
                a[ans][4]=2;
                a[ans][5]=n;
                a[ans][6]=2;
                if(c[n-1][2]=='0') c[n-1][2]='1';
                else c[n-1][2]='0';
                if(c[n][2]=='0') c[n][2]='1';
                else c[n][2]='0';
            }
            for(int i=2;i<m;i+=2){
                if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_up(i);
                    right_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='0'){
                    right_up(i);
                    left_up(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_down(i);
                    left_up(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_down(i);
                    right_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_down(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    right_down(i);
                    right_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_up(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    right_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_up(i);
                    left_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_up(i);
                    left_down(i);
                    right_up(i);
                    right_down(i);
                }
            }
        }
        else{
			for(int i=1;i<m;i+=2){
                if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_up(i);
                    right_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='0'){
                    right_up(i);
                    left_up(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_down(i);
                    left_up(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_down(i);
                    right_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_down(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    right_down(i);
                    right_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_up(i);
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    right_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_up(i);
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_up(i);
                    left_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='0'){
                    left_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='0'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_up(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='0'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='0'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    right_down(i);
                }
                else if(c[n-1][i]=='1'&&c[n-1][i+1]=='1'&&c[n][i]=='1'&&c[n][i+1]=='1'){
                    left_up(i);
                    left_down(i);
                    right_up(i);
                    right_down(i);
                }
            }
		} 
        printf("%d\n",ans);
        for(int i=1;i<=ans;i++){
            for(int j=1;j<=6;j++) printf("%d ",a[i][j]);
            putchar('\n');
        }
    }
    return 0;
}