ARC163B题解

$2023/7/8$：把代码块的语言改成了 c++。

题意简述

给一个长度为 $N$ 的序列 $A$，你可以进行若干次操作：

• 选择一个整数 $i$ 满足 $1\le i \le N$，将 $A_i$ 加上或减去 $1$。

求最少需要多少步，使得至少有 $M$ 个整数 $i$ 满足 $3\le i \le N$，$A_1 \le A_i \le A_2$。

解法

可以发现一个性质，只改变 $A_1,A_2$ 的值是最优的。

证明

设 $A_1$ 的值为 $u$，如果它要包含的区间的最小值为 $u'$（这里，$u'\lt u$，因为如果 $u'\ge u$，$A_1$ 可以不做改变），则改变 $A_1$ 只需 $u-u'$ 步。

而如果改变的不是 $A_1$，仅仅是将 $u'$ 改成大于等于 $u$ 的数就要花 $u-u'$ 步了，如果还有其它点的值 $r$ 满足 $u'\le r\lt u$，那步数一定大于 $u-u'$ 步。

改变 $A_2$ 同理。

综上可得，只改变 $A_1,A_2$ 的值是最优的。

再配一张图理解一下（其中，红色的点分别表示 $A_1,A_2$，红线表示 $A_1,A_2$ 移动的步数，蓝线为其它点移动的步数，可以看出红线总长比蓝线总长短）

还有一个很好证明性质，包含的区间一定是按顺序（从大到小、从小到大都可以）排序中一个连续的子序列。

算法简述

对后 $N-2$ 个点从小到大排序（当然，从大到小也可以），依次枚举长度为 $M$ 的区间（即左端点在 $[3,N-M+1]$ 的长度为 $M$ 的区间）。求出将 $A_1$ 改变成小于等于左端点的值，$A_2$ 改变成大于等于右端点的值最少需要的步数即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a1,a2,b[200010],ans=0x7fffffff;
bool cmp(int x,int y){
	return x<y;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%d%d",&a1,&a2);//A1,A2分开读
	n-=2;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
	sort(b+1,b+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n-m+1;i++) ans=min(ans,max(a1-b[i],0)+max(b[i+m-1]-a2,0));
	printf("%d",ans);
	return 0;
}