构造题 Codeforces2128E2 Submedians (Hard Version)

https://codeforces.com/problemset/problem/2128/E2

题解

有好几步，每步都挺有意思的。

直接看 hard version，找找性质。按照它定义的中位数。我们想下对某个集合 A 已经计算出了中位数集合；把原来的区间变长恰好 1，在集合 A 中多加入一个数字，那么新的中位数集合和现在的差不多，定量描述一下，就是两个中位数集合一定有交。

因此，可能的中位数集合一定是一个大区间，只需要找到最大和最小的即可。恰巧，此事在 easy version 中亦有记载。对于某个钦定中位数 \(v\)，定义两个数组 \(\text{big}, \text{small}\)，满足：

\[\text{big}_i= \begin{cases} 1,&a_i\ge v\\ -1,&a_i<v \end{cases} \]

那么某个区间 \([l,r]\) 就应当满足 \(\sum \text{big}_i\ge 0, \sum \text{small}_i\ge 0\)，仔细分析一下，前者就是保证中位数 \(\ge v\)，后者保证 \(\le v\)。但是仔细想一下，只需要保证前者，我们就能找到所有中位数的最大值。因此再结合二分，就可以找到这个最大值，同时也能顺便指出一个对应的区间。

现在只剩下最后一步了！我们知道了中位数最大值 \(mx\) 和对应区间 \([l_1,r_1]\)，以及最小值 \(mn\) 和对应区间 \([l_2,r_2]\)，想要求出 \([mn,mx]\) 之间的对应区间。有趣的是，我们回忆起第一部分的性质，端点变化时，中位数集合是连续变化的！因此，我们直接让 \([l_1,r_1]\) 连续变化到 \([l_2,r_2]\)，那么中间的状态就能覆盖所有 \([mn,mx]\) 中的数字！这题也就做完了。