最大连续子序列和
本文主要总结最大连续子序列和的问题及其历史，这个题目在很多公司的面试中出现，编程之美也有讲述。本文主要介绍一维的情形，环形和二维的扩展在下一篇讲述。
最大连续子序列和最早是在编程珠玑讲述，这个问题最初由布朗大学的统计学家UIF Grenander在处理图片时提出的，当时是处理二维数组的子数组，为了简化问题，才先提出一维数组的解法。
问题定义：对一个有n个元素的数组，求最大的连续子数组的和。数组的元素必然有正数也有负数才有意义，如果全是正数，那最大的子数组就是本身；如果全部为负数，那最大子数组就是空数组。例如下面的数组，其最大子数组序列和为187，子数组为X[2,..,6]：
| 31 | -41 | 59 | 26 | -53 | 58 | 97 | -93 | -23 | 84 |
这个问题有很强的代表性，有很多实现方法，复杂度从O(n^3)到O(n)都用，另外这个问题可以扩展到二维数组，甚至扩展到环，我们来逐一讨论，步步深入。
1、最直接的方法O(n^3)
每个问题往往都有一个最直接而鲁莽的方法，虽然这样的方法不是我们最终想要的，但直接有效的方法能启发我们进一步优化。这里最直接的方法就是遍历所有的子数组，比较每一个子数组的和即得到最大的子数组和。实现代码如下，只需要记录一个当前最大值即可。
1 def maxSeqSum1(data):
2 n = len(data)
3 maxsofar = 0
4 for i in xrange(n):
5 for j in xrange(i,n):
6 s = sum(data[i:j+1])
7 if s > maxsofar:
8 maxsofar = s
9 return maxsofar
这个算法的时间复杂度是O(n^3)，虽然看上去只要两层循环，但最里面的求和并不是常量时间。最外层循环n次，第二层最多循环n次，里面的求和长度最大也为n，因此整个计算的复杂度是O(n^3)。
2、小小的改进O(n^2)
当数组长度大于1000后，O(n^3)的算法就已经显得力不从心了。想一想我们可以稍作改变就降低到O(n^2)，这里需要比较的子数组个数为n*(n-1)/2，已经是n^2的数量级了，因此我们想能不能在求和上做改进，使得求子数组的和的复杂度为O(1)。上面的算法的i、j分别是子数组的上边界和下边界，子数组X[i,..j]的和sum(X[i,..j]) = sum(X[i,..j-1])+X[j]，于是得到如下的算法：
1 def maxSeqSum2(data):
2 n = len(data)
3 maxsofar = 0
4 for i in xrange(n):
5 s = 0
6 for j in xrange(i,n):
7 s += data[j]
8 if s > maxsofar:
9 maxsofar = s
10 return maxsofar
还有另外一种方法，将计算子数组的和的复杂度降到O(1)，它先用数组accu[n]表示累加和，即accu[i]表示X前i个元素之和，这样sum(X[i,..j])=accu[j]-accu[i-1]，实现代码如下：
def maxSeqSum3(X):
'''maxSeqSum3 O(n^2)'''
n = len(X)
accu = [0] * (n+1)
for i in xrange(n):
accu[i] = accu[i-1] + X[i]
maxsofar = 0
for i in xrange(n):
for j in xrange(i,n):
s = accu[j] - accu[i-1]
if s > maxsofar:
maxsofar = s
return maxsofar
这里利用了python的一个特别之处，即列表下标可以为负数，x[-1]即为x[n-1]，用C语言实现需要修改一下，我们可以用accu[i+1]表示前i个元素之和，这样C代码如下：
1 int maxSeqSum3(int X[],int n){
2 int accu[n+1];
3 accu[0] = 0;
4 for(int i=0 ; i < n; i++)
5 accu[i+1] = accu[i] + X[i];
6 int s,maxsofar = -1;
7 for(int i = 0; i < n; i++){
8 for(int j =i; j < n; j++){
9 s = accu[j+1]-accu[i];
10 if(s > maxsofar)
11 maxsofar = s;
12 }
13 }
14 return maxsofar;
15
16 }
3、更近一步的方法O(nlog(n))
O(n^2)的复杂度还是太高，当n大于10,000后，需要等待的计算时间就已经超过8分钟了。如果能把这个问题规模分解成两个子问题，那就能转化为递归问题，很可能就能得到一个O(nlog(n))的算法。实际上，我们把原来的数组X[0,...n)分成两个等长的子数组X1和X2：
| X1 | X2 |
原数组X的最大连续子数组只能是以下三种情况之一：
- 只在X1中，即X的最大和连续子数组就是X1的最大和连续子数组m1;
- 只在X2中，即X的最大和连续子数组就是X2的最大和连续子数组m2;
| m1 | m2 |
- 即在X1中又在X2中，如m3所示
| m3 |
X1和X2的最大和连续子数组m1、m2可以通过递归来求解，现在我们只需要把m3求出来，比较其中的最大值就得到了X的最大和。不知道大家能否理解，m3是X1右边的一个子数组之和加上X2左边一个子数组之和。递归求解问题需要定义平凡解，即当子数组的长度为0时，最大和应该为0，当子数组长度为1时，最大和应该为max(xi[0],0)。这样我们便实现了一个递归的解法：
1 def recursionMax(X,l,u):
2 if l > u:#lenght is 0
3 return 0
4 if l == u:
5 return max(X[l],0)
6 m = (l + u) / 2
7 lmax = s = 0
8 for i in xrange(m,l,-1):
9 s += X[i]
10 lmax = max(lmax,s)
11 rmax = s = 0
12 for i in xrange(m+1,u-1):
13 s += X[i]
14 rmax = max(rmax,s)
15 return max(rmax+lmax,recursionMax(X,l,m),recursionMax(X,m+1,u))
16 def maxSeqSum4(X):
17 '''maxSeqSum4 O(nlogn)'''
18 return recursionMax(X,0,len(X)-1)
原问题的规模为T(n)，用上面的递归解法，T(n) = 2T(n/2)+O(n)=O(nlogn)
4、哇哦~O(n)
1977年UIF Grenander把这个问题告诉了CMU的Michael Shmos，Michael Shmos连夜想出来了上面的O(nlogn)算法，并与Jon Bentley分享，他们当时认为这是最好的算法了，可是几天后，Shmos在CMU的一个报告会上向统计学家Jay Kadane描述了这个问题，Kadane几分钟就想出来一个O(n)的算法，太牛叉啦~
Kadane的O(n)的算法只需要一个扫描数组X一次，扫描的过程记录一个当前最大值maxsofar与一个以当前元素为右端点的最大值maxendinghere，在扫描的过程中如果maxendinghere比0小，那就从开始重新记录。算法如下：
1 def maxSeqSum5(X):
2 '''maxSeqSum5 O(n)'''
3 maxsofar = maxendinghere = 0
4 for i in xrange(len(X)):
5 maxendinghere += X[i]
6 if maxendinghere < 0:
7 maxendinghere = 0
8 maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere)
9 return maxsofar
这已经是最优的解法了，任何正确的算法必须是O(n)复杂度的。假设最大和子数组为X[i,..,j]，那么为了确定X[i,..,j]最大，我们必须遍历X[0,i)和X(j,n)的所有元素，不论X[1,i)多么的小，都不能排除加上X[0]后变得超级大，从而最大子数组成了X[0,...,j]。
前面的几个解法，都只是求出了最大值，并没有指出数组的范围，但找出来也很容易，下面的代码改进了一下O(n)的解法，同时返回子数组的下标起点和终点：
1 def maxSeqSum6(X):
2 '''maxSeqSum5 O(n)'''
3 # s1,su is the start and end of so far ,
4 # el,eu is start and end of endinghere
5 # take care that the subvector is X[s1,su), not X[s1,su]
6 maxsofar = maxendinghere = 0
7 sl = su = el = eu = 0
8 for i in xrange(len(X)):
9 maxendinghere += X[i]
10 if maxendinghere < 0:
11 maxendinghere = 0
12 el = eu = i+1
13 else:
14 eu += 1
15 if maxsofar < maxendinghere:
16 maxsofar = maxendinghere
17 sl = el
18 su = eu
19 return maxsofar,sl,su-1
变形1 如果是要求至少选择一个元素，应该如下处理：
public int maxSubArray(int[] A) { int cur=0; int max=Integer.MIN_VALUE; for(int i=0;i<A.length;i++){ cur = Math.max(cur + A[i], A[i]); max = Math.max(max,cur); } return max; }
变形2 求树的最大路径之和，端点结点可以为任意结点，参考leetcode：
private int maxSum; public int maxPathSum(TreeNode root) { if(root == null) return 0; maxSum = Integer.MIN_VALUE; dfs(root); return maxSum; } public int dfs(TreeNode root) { if(root == null) return 0; int left = dfs(root.left); int right = dfs(root.right); int sum = root.val; if(left > 0) sum += left; if(right > 0) sum += right; maxSum = Math.max(sum,maxSum); int max = Math.max(left,right); return max > 0 ? max + root.val : root.val; }
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