机器学习中的归一化方法

在这里主要讨论两种归一化方法：

1、线性函数归一化(Min-Max scaling)

线性函数将原始数据线性化的方法转换到[0 1]的范围，归一化公式如下：

该方法实现对原始数据的等比例缩放，其中Xnorm为归一化后的数据，X为原始数据，Xmax、Xmin分别为原始数据集的最大值和最小值。

python实现：preprocessing.MinMaxScaler

2、0均值标准化(Z-score standardization)

0均值归一化方法将原始数据集归一化为均值为0、方差1的数据集，归一化公式如下：

其中，μ、σ分别为原始数据集的均值和方法。该种归一化方式要求原始数据的分布可以近似为高斯分布，否则归一化的效果会变得很糟糕。

python实现：preprocessing.StandardScaler，preprocessing.robust_scale

两种归一化的应用场景：
1、在分类、聚类算法中，需要使用距离来度量相似性的时候、或者使用PCA技术进行降维的时候，第二种方法(Z-score standardization)表现更好。
2、在不涉及距离度量、协方差计算、数据不符合正太分布的时候，可以使用第一种方法或其他归一化方法。比如图像处理中，将RGB图像转换为灰度图像后将其值限定在[0 255]的范围。

为什么在距离度量计算相似性、PCA中使用第二种方法(Z-score standardization)会更好呢？我们进行了以下的推导分析：

归一化方法对方差、协方差的影响：假设数据为2个维度(X、Y)，首先看0均值对方差、协方差的影响：
先使用第二种方法进行计算，我们先不做方差归一化，只做0均值化，变换后数据为

新数据的协方差为

由于 

因此

而原始数据协方差为

因此 

做方差归一化后：

方差归一化后的协方差为：

使用第一种方法进行计算，为方便分析，我们只对X维进行线性函数变换

计算协方差

可以看到，使用第一种方法(线性变换后)，其协方差产生了倍数值的缩放，因此这种方式无法消除量纲对方差、协方差的影响，对PCA分析影响巨大；同时，由于量纲的存在，使用不同的量纲、距离的计算结果会不同。
而在第二种归一化方式中，新的数据由于对方差进行了归一化，这时候每个维度的量纲其实已经等价了，每个维度都服从均值为0、方差1的正态分布，在计算距离的时候，每个维度都是去量纲化的，避免了不同量纲的选取对距离计算产生的巨大影响。

总结来说，在算法、后续计算中涉及距离度量(聚类分析)或者协方差分析(PCA、LDA等)的，同时数据分布可以近似为状态分布，应当使用0均值的归一化方法。其他应用中更具需要选用合适的归一化方法。