[概率论与数理统计]笔记：3.1 随机向量的分布

第三章 随机向量

3.1 随机向量的分布

随机向量及其分布函数

概念

• \(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是\(n\)个随机向量，则\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是一个\(n\)维随机向量。
• \(n\)元函数\(F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,\cdots,X_n\le x_n\}\)为随机向量\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)的分布函数。其中\(\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,\cdots,X_n\le x_n\}\)表示\(\{X_1\le x_1\},\{X_2\le x_2\},\cdots,\{X_n\le x_n\}\)的交事件。

一般不会讨论高维的向量，教材上大多是二维向量。

概率表示

\[P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) \]

性质

• \(0\le F(x,y)\le1\).

• \(F(x,y)\)关于\(x,y\)均单调、非降、右连续.

• 极限值：

  • \(F(-\infty,y)=\lim\limits_{x\to-\infty}F(x,y)=0\)
  • \(F(x,-\infty)=\lim\limits_{y\to-\infty}F(x,y)=0\)
  • \(F(-\infty,-\infty)=\lim\limits_{(x,y)\to(-\infty,-\infty)}F(x,y)=0\)
  • \(F(+\infty,+\infty)=\lim\limits_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)}F(x,y)=1\)

• (一维)边缘分布函数

  • \(F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<+\infty\}=F(x,+\infty)\)

  • \(F_Y(y)=P\{Y\le y\}=F(+\infty,y)\)

  • 一般地，对于\(n\)维随机向量的分布函数的边缘分布函数为：

    \[F_i(x_i)=F(+\infty,\cdots,+\infty,x_i,+\infty,\cdots,+\infty),\quad i=1,2,\cdots,n \]

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离散型随机向量的概率分布

定义

如果二维随机向量\((X,Y)\)只取有限个或可列个值，则称\((X,Y)\)为二维离散型随机向量。

其概率分布为：

\[P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,\cdots, \]

也叫做\(X\)和\(Y\)的联合概率分布。

性质

• \(p_{ij}\ge0,\quad i,j=1,2,\cdots;\)
• \(\sum\limits_i\sum\limits_jp_{ij}=1\).

概念

联合概率分布表：以二维表格形式表示二维离散型随机向量的概率分布。

边缘概率分布：联合概率分布的某一行或某一列的和。

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连续型随机向量的概率密度函数

定义

二维随机向量\((X,Y)\)的分布函数为\(F(x,y)\)，如果存在一个非负可积的二元函数\(f(x,y)\)，使得对任意实向量\((x,y)\)，有

\[F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t, \]

则称\((X,Y)\)为二维连续型随机向量，并称\(f(x,y)\)为\((X,Y)\)的概率密度函数，或\(X\)和\(Y\)的联合密度函数。

性质

• \(f(x,y)\ge0\)

• \(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1\)

• 若\(D\)是平面上的一个区域，则\(P\{(X,Y)\in D\}=\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

• 边缘分布函数

  \[\begin{align*} F_X(x) &= P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y\le+\infty\}\\ &= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t \\ &= \int_{-\infty}^x \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)\mathrm{d}t \right] \mathrm{d}s. \end{align*} \]

• 边缘密度函数

  \[f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}y \\ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x \\ \]

均匀分布

如果一个二维随机向量\((X,Y)\)以

\[f(x,y)= \left\{ \begin{align*} & \frac{1}{S(G)},\quad\quad(x,y)\in G,\\ & 0,\quad\quad\quad\quad 其他, \end{align*} \right. \]

为密度函数，则称\((X,Y)\)服从区域\(G\)上的均匀分布。

图像

平面区域上的均匀分布实质就是平面区域上的几何概型。

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二元正态分布

定义

设随机向量\((X,Y)\)的密度函数为

\[\varphi(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right] }, \]

其中\(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho\)均为参数，且\(\sigma_1>0,\sigma_2>0,|\rho|<1\)，则称\((X,Y)\)服从参数为\((\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)\)的二元正态分布，记作\((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)\).

性质

• 二元正态分布以\((\mu_1,\mu_2)\)为中心，中心附近具有较高密度，离中心越远，密度越小。

• 边缘密度函数

  • \(\varphi_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}\)
  • \(\varphi_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}}\)
  • \(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\ Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)

• 参数\(\rho\)是随机变量\(X,Y\)的相关系数，\(\rho=0\)表示\(X,Y\)相互独立，此时对于任何\((x,y)\)，有

  \[\varphi(x,y)=\varphi_X(x)\varphi_Y(y) \]

注：

1. 二元正态分布的边缘分布只有前4个参数确定，因此对于只有参数\(\rho\)不同的二元正态分布，它们的边缘分布是一致的。
2. 只有\(X\)和\(Y\)的边缘分布不能唯一确定二元正态分布，还需要明确的参数\(\rho\).
3. 两个边缘分布为正态分布的二位随机向量不一定服从二元正态分布。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社