fourier

傅立叶级数是以正余弦函数为基础逼近原周期函数的一种表现形式,它的基础是cos(2 pi w t),则频率的说法来自于正余弦函数.

计算过程:

一般的三角形式

所以,直流是啥,别问.

复指数形式

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你会有疑问为什么n的取值范围是[-N +N],在三角表示的一般形式中,n的范围是[1 N]

把上面的公式带进去,问题会迎刃而解的.

the teacher 说的是正负之内,虚数部分会被抵消,实数部分留存.

因而就有了以下性质:

对于cn的求解到底是怎么回事呢?

接下来就是奇妙的地方了:

想必你会很疑惑,这是怎么得到的.

原理很简单,ck是一个未知的常数,那么ck在区间[0,1]的定积分就是ck.如此,左右各进行该区间的积分,则得到ck的计算方法.

而在其它不为1的周期内,则会出现1/T的系数,因为后面的正交函数在这个区间内积分才为0啊,笨蛋.

所以,请自觉把周期推到T上去.

部分拓展:

能量:

Let's go to look Fourier transform:

周期的函数有了傅立叶级数,非周期咋整.别急,这不来了吗

我们假设有个周期T不管它是无穷大还是无穷小,它是个数罢了.

然后做傅立叶级数展开:

rect(rectangle) function

then,变魔术了啊

有没有看见第一个里面,因为的缘故,sin(pi n)/T趋近于0,cn趋近于0,也就是我们爱说的无穷小.

后面无穷小乘以无穷大,则得到一个有限的值,一个我们可以拿来用的值.

一般形式:

这写起来有点像拉普拉斯变换啊,请自行脑补.

我们不知道是否每一个变换里面无穷大是否一般大小,如果是,那么级数与变换之间的关系应该也唯一确定了吧.

给你加个buff:

那这个玩意怎么表示原函数呢

则:

ds怎么来的,因为有这么个说法:

请自行理解.

IFT:

就是上面那个玩意儿.

给你再加一个buff(记法):

energy spectrum:

feature: