树状数组

树状数组

#define lowbit(x) x&-x
int n,a[N],tr[N];
void add(int x,int c){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=c;
}
int ask(int x){
	int res=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
	return res;
}

理解 https://www.acwing.com/solution/content/13818/

于是伟大的“超级树状数组”横空出世了。

首先，我们看树状数组是如何支持区间修改的：

设tree[i]=a[i]-a[i-1]（差分），那么容易得到：

***tree[1]+tree[2]+……+tree[i]=a[i]***  这个公式

所以，只需要维护tree数组就可以实现区间修改了。

那么问题来了，如果这样，那么如何实现区间查询呢？

我们已经推出了一个公式：

tree[1]+tree[2]+……tree[i]=a[i]

那么，对于1到r的区间和，即为：

 a[1]+a[2]+……+a[r-1]+a[r]

//用上方公式推导得出
a[r]=tree[1]+(tree[1]+tree[2])+……+(tree[1]+……+tree[r])
//根据加法交换律与结合律：
a[r]=(tree[1] r)+(tree[2](r-1))+……(tree[r]1)*
//那么：
=r(tree[1]+tree[2]+……+tree[r])-(tree[1]0+tree[2]1+……+tree[r](r-1))
看到这里，是不是已经很清晰了呢？

对于a的树状数组(差分)tree，建立一个新的树状数组tree1使得：

tree1[i]=tree[i]*(i-1)

之后，x到y的区间和即为：

(y*getsum(tree,y)-(x-1)*getsum(tree,x-1))-(getsum(tree1,y)-getsum(tree1,x-1))

Tips:
因为求区间和满足区间加法，所以Sum(L,R)=Sum(1,R)-Sum(1,L-1)，所以有上述公式。
当然，对于更新操作也需要进行一些细微调整，详细的就看代码吧……

#include<bits/stdc++.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),c
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,tr[100005],tr1[100005];//题目要求longlong
inline void add(ll *tr,ll x,ll c){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=c;
}
ll ask(ll *tr,ll x){
	ll res=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
	return res;
}

int main(){
	ios;
    cin>>n>>m;
    ll a,b=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        cin>>a;
        b=a-b;
        add(tr,i,b);//差分树状数组
        add(tr1,i,(i-1)*b);//差分树状数组乘（i-1）个
        b=a;
    }
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        char t;
        int x,y,z;
        cin>>t;
        if (t=='C'){
            cin>>x>>y>>z;
            add(tr,x,z);
            add(tr,y+1,-z);
            add(tr1,x,z*(x-1));
            add(tr1,y+1,-z*y);//此处为核心，联系上方的公式，想一想为什么这么修改。
        }
        else{
            cin>>x>>y;
            cout<<(y*ask(tr,y)-(x-1)*ask(tr,x-1))-(ask(tr1,y)-ask(tr1,x-1))<<endl;
        }
    }
    return 0;
}