【NEUOJ1907】有限制的背包问题

原题链接：多重背包

题意：将N种物品放入最大容量为W的背包中，其中每一种物品的价值为vi，体积为wi，数量为ci，问该背包所能装下的最大价值为多少。

思路：经典的多重背包问题，由于ci的数据范围较大，所以正常使用多重循环将多重背包改为有 n*ci 个物品的01背包问题会超时。此时我们需要一种巧妙的方法来优化拆分的思路，由于自然数范围内所有的数都可以用二进制来表示，所以我们可以将 \(c_i\) 拆分为 \(1 + 2 + 4 + 8 + ... + x\) 的形式，这种拆分方式可以在拆完后用拆分出的数表示\([1 , c_i]\)中所有的数。

具体拆分思路请看如下样例：
当我们试图将5拆分成二进制表示时，应当将其拆分为1，2，2，

再例如说我们试图拆分1000时，应将其拆分为1，2，4，8，16，32，64，128，256，489。

在了解完二进制的拆分思路后，外层循环从 n*ci 被优化为了 nlogn ，此时该题便迎刃而解了。

代码如下：

点击查看代码

  for(int i = 0; i < n; i++) {
    //二进制拆分方式
    for(int j = 1; j <= c[i]; j *= 2) {
      c[i] -= j;
      int ww = w[i] * j, vv = v[i] * j;
      for(int k = W; k >= ww; k--)
        dp[k] = max(dp[k], dp[k - ww] + vv);
    }
    //可能会多出来一部分，也要算进去
    if(c[i]) {
      int ww = w[i] * c[i], vv = v[i] * c[i];
      for(int k = W; k >= ww; k--)
        dp[k] = max(dp[k], dp[k - ww] + vv);
    }
  }