常用排列组合公式

1. 排列公式

\(n\) 个相异物件取 \(r\)（\(1 \leq r \leq n\)）个的不同排列总数，为

\[P_r^n = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) \]

特别地，若 \(n=r\)，得

\[P_r^r = r(r-1)\cdots 1 = r! \]

人们常约定把 \(0!\) 作为 \(1\)。当 \(r\) 不是非负整数时，记号 \(r!\) 没有意义。

2. 组合公式

\(n\) 个相异物件取 \(r\) 个（\(1 \leq r \leq n\)）个的不同组合总数，为

\[C_r^n = \binom{n}{r} = \frac{P_r^n}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r!} \]

当 \(r=0\) 时，按 \(0!=1\) 的约定，算出 \(\binom{n}{0} = 1\)，这可看作一个约定。

只要 \(r\) 为非负整数，\(n\) 不论为任何实数，都有意义。故 \(n\) 可不必限制为自然数。例如：

\[\binom{-1}{r} = (-1)(-2) \cdots (-r) / r! = (-1)^r \]

3. 组合系数与二项式展开的关系

组合系数 \(\binom{n}{m}\) 又常称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：

\[(a+b)^n = \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i}a^i b^{n-i} \]

利用这个关系式，可得出许多有用的组合公式。例如，令 \(a=b=1\)，得

\[\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n \]

令 \(a = -1，b = 1\)，则得：

\[\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\dbinom{n}{n} = 0 \]

另一个有用的公式是

\[\dbinom{m+n}{k} = \sum_{i=0}^{k}\dbinom{m}{i}\dbinom{n}{k-i} \]

它是由恒等式 \((1+x)^{m+n} = (1+x)^m(1+x)^n\) 即

\[\sum_{j=0}^{m+n} \dbinom{m+n}{j} x^j = \sum_{j=0}^{m} \dbinom{m}{j} x^j \sum_{j=0}^{n} \dbinom{n}{j}x^j \]

比较两边的 \(x^k\) 项的系数得到的。

其实，这条公式从直观上理解要更容易，即有两堆物品，第一堆有 \(m\) 件，第二堆有 \(n\) 件，要从这两堆物品中取出 \(k\) 件，有多少种取法？显然，我们可以先在第一堆取 \(i\) 件（\(0 \leq i \leq k\)），然后在第二堆取 \(k - i\) 件，则取法有 \(\binom{m}{i} \binom{n}{k-i}\) 种，把 \(i\) 的所有取值结果相加，即得上面的公式。

4. 物品分堆

\(n\) 个相异物件分成 \(k\) 堆，各堆物件数分别为 \(r_1, \cdots, r_k\) 的分法是

\[\frac{n!}{r_1! \cdots r_k!} \]

此处，\(r_1, \cdots, r_k\) 都是非负整数，其和为 \(n\)。注意：这里要计较堆的次序，例如，若有 5 个物体 \(a，b，c，d，e\) 分成 \(3\) 堆，则 \((ac)，(d)，(be)\) 和 \((be)，(ac)，(d)\) 应算作两种不同的分法。如果不考虑次序，还需要再除以 \(k!\)。

此式常称为多项式系数，因为它是 \((x_1+\cdots+x_k)^n\) 的展开式中 \(x_1^{r_1} \cdots x_k^{r_k}\) 这一项的系数。