最小生成树——Prim（普里姆）算法

一、算法思想：

　　①从图中任意取出一个顶点，把它当做一棵树。

　　②然后从这棵树相接的边中选取一条最短（权值最小）的边，并将这条边及其所连接的顶点也加入到这棵树中，此时得到了一棵有两个顶点的树。

       ③然后从这棵树相接的边中选取一条最短（权值最小）的边，并将这条边及其所连接的顶点也加入到这棵树中，得到一棵有三个顶点的树。

       ④以此类推，直到图中所有顶点都被并入树中为止，此时得到的生成树就是最小生成树。

　　辅助变量：

　　vest[]：vest[i]=1表示顶点Vi已经被并入到生成树中，vest[i]=0表示顶点Vi还没有被并入生成树中。

　　lowcost[]：对于i，lowcost[i]中保存的是当前生成树到顶点Vi的多条边中最短的一条边的权值。

 

二、伪代码如下：

#define MAXSIZE 100
void Prim(MGraph G, int v0, int &sum){
    /*从这句开始对各变量进行初始化*/
    int lowcost[MAXSIZE],vest[MAXSIZE],v;
    int i,j,k,min;
    v = v0;
    for(i = 0; i < G.vertex_num; ++i){
        lowcost[i]=G.edgs[V0][i];
        vest[i] = 0;
    }//for
    vest[V0] = 1;       //将V0并入书中
    sum = 0;            //sum清零用来累计树的权值
    /*初始化结束，开始Prim算法主过程*/
    for(i = 0; i < G.vertex_num - 1; ++i){
        min = INF;
        /*下面这个循环用于选出候选边中的最小者*/
        for(j = 0; j < G.vertex_num; ++j)
            if(!vest[j] && lowcost[j] < min){
                min = lowcost[j];
                k = j;
            }//if
        vest[k] = 1;
        v = k;
        sum += min;     //这里用sum记录了最小生成树的权值
        /*下面这个循环以刚并入的顶点v为媒介更新候选边*/
        for(j = 0; j < G.vertex_num; ++j)
            if(!vest[j] && (G.edges[v][i] < lowcost[j]))
                lowcost[j] = G.edges[v][j];
    }//for
}//Prim

 

三、算法性能分析：

　　时间复杂度：Prim算法的执行非常类似于寻找图的最短路径的Dijkstra算法。

　　　　　　时间复杂度为O(V^2),不依赖于e,因此它适用于求解边稠密的最小生成树。

　　　　　　虽然采用其他方法能改进Prim算法的时间复杂度，但也增加了实现的复杂性。

四、Kruskal（克鲁斯卡尔算法）

　　时间复杂度：Kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)（e为网中边的数目），因此适合于求边稀疏的网的最小生成树。