单源最短路径问题——Dijkstra（迪杰斯特拉）算法

一、算法思想：

　　　　设有两个顶点集合S和T，集合S中存放图中已找到最短路径的顶点，集合T存放图中剩余顶点。

　　　　①初始状态时，集合S中只包含源点V0，然后不断从集合T中选取到顶点V0路径长度最短的顶点Vu并入集合S中；

　　　　②集合S每并入一个新的顶点Vu，都要修改V0到集合T中的最短路径长度值。

　　　　③不断重复此过程。直到集合T中所有的顶点全部并入到S中为止。

 

　　引进三个辅助数组dist[],path[],set[]

　　　　①dist[Vi]:表示当前已找到的从V0到每个顶点Vi的最短路径的长度。

　　　　　它的初始状态为：

　　　　　若从V0到Vi有边，则dist[Vi]为边上的值，

　　　　　否则置dist[Vi]为INF(INF是一个已经定义的比图中所有边权值都大的常量)

　　　　②path[Vi]中保存从V0到Vi最短路径上Vi的前一个顶点。假设最短路径上的顶点序列为V0,V1,V2,···,Vi-1,Vi,则path[Vi]=Vi-1。

    　　　　它的初态为：

　　　　　若从V0到Vi有边，则path[i]=V0,否则path[i]=-1。

　　　　③set[]为标记数组，set[Vi]=0表示Vi在T中，即没有被并入最短路径；set=1表示Vi在S中，即已经并入最短路径。

　　　　　它的初态为：

       　　　set[V0]=1，其余元素全为0。

 

二、伪代码如下：

#define MAXSIZE 100
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v, int dist[], int path[]){
    int set[MAXSIZE];
    /*从这句开始对各数组进行初始化*/
    for(i = 0; i < G.vertex_num; ++i){
        dist[i] = G.edges[v][i];
        set[i]=0;
        if(G.edges[v][i] < INF)
            path[i] = v;
        else
            path[i] = -1;
    }//for
    set[v] = 1;
    path[v] = -1;
    /*初始化结束，开始主循环，每次求得V0到某个顶点Vi的最短路径，并加入到S集*/
    for(i = 0; i < G.vertex_num; ++i){
        min = INF;
        /*这个循环每次从剩余顶点中选出一个顶点，通往这个顶点的路径在所有通往剩余顶点的路径中长度是最短的*/
        for(i = 0; j < G.vertex_num; ++j)   //其余G.vertex_num-1个顶点
            if(!set[j] && dist[j]<min){     //j顶点在V-S中
                u = j;
                min = dist[j];
            }//if
        set[u] = 1; //将选出的顶点加入S集
        /*这个循环以刚并入的顶点作为中间点，对通往剩余顶点的路径进行检测*/
        for(j = 0; j < G.vertex_num; ++j){
            /*这个if语句判断顶点u的加入是否会出现通往顶点j的更短的路径，如果出现，则改变原来路径及其长度，否则什么都不做*/
            if(!set[j] && (dist[u] + g.edges[u][j] < dist[j])){
                dist[j] = dist[u] + G.edges[u][j];
                path[j] = u;
            }//if
        }//for
    }//for
}//ShortestPath_Dijkstra

 

三、算法性能分析：

　　时间复杂度：

    　　①本算法主要是一个双重循环，外层循环里有两个并列的单层循环，可任选一个作为基本操作，基本操作的次数为(v^2)。

    　　　使用邻接矩阵表示时，时间复杂度为O(V^2)。

    　　②使用带权的邻接表表示时，虽然修改dist[]的时间可以减少，但由于在dist[]中选择最小份量的时间不变，时间负杂度仍为O(V^2)。

    　　③人们可能只希望找到从源点到某个特定顶点的最短路径，但这个问题和求解源点到其他所有顶点的最短路径一样复杂，时间复杂度也为O(V^2)。

　　注意：

    　　①边上带有负的权值时，Dijkstra算法并不适用。若允许边上带有负权值，在与S内某点Va以负边相连的点Vb确定最小路径时，

    　　　其最短路径长度加上这条负边的长度可能小于Va原先确定的最短路径长度，而此时Dijkstra算法是无法更新的。